Tüm 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0 çözümlerini nasıl buluyorsunuz?

# 2 çünkü ^ 2 x - günah x - 1 = 0 # için

#x (3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # nerede # ZZ'de #

çözmek: # 2cos ^ 2 x - günah x - 1 = 0 # (1)

İlk önce # çünkü ^ 2 x # tarafından # (1 - günah ^ 2 x) #

# 2 (1 - günah ^ 2 x) - günah x - 1 = 0 #.

Telefon etmek # günah x = t #, sahibiz:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Bu, formun ikinci dereceden bir denklemidir # ^ 2 + bt + c = 0 # kısayol ile çözülebilir:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

veya faktoring # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Gerçek bir kök # t_1 = -1 # ve diğeri # t_2 = 1/2 #.

Sonra 2 temel trig fonksiyonunu çözün:

# t_1 = günah x_1 = -1 #

# Rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (için # ZZ'de #)

ve

# t_2 = günah x_2 = 1/2 #

# Rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

veya

# Rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Denklem ile kontrol edin (1):

#cos (3pi / 2) = 0; günah (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (doğru)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; günah (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (doğru)