[0,1] aralığında minimum g (x) = x / csc (pi * x) değeri nedir?

Cevap:

Minimum değeri var #0# her ikisinde de #, X = 0 # ve #, X = 1 #.

Açıklama:

İlk önce bu işlevi hemen yazabiliriz.

#g (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Hatırlatarak #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Şimdi, bir aralıktaki minimum değerleri bulmak için, bunların aralığın bitiş noktalarında veya aralık içinde meydana gelen kritik değerlerde olabileceğini kabul edin.

Kritik değerleri aralık içinde bulmak için, fonksiyonun türevini #0#.

Ve, fonksiyonu ayırt etmek için, kullanmamız gerekecek. Ürün kuralı. Ürün kuralının uygulanması bize

#g '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Bu türevlerin her biri şunları verir:

# G / dx (x) = 1 #

Ve, içinden zincir kuralı:

# G / dx (sin (pix)) cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) # =

Bunları birleştirerek görüyoruz ki

#g '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Böylece kritik değerler ne zaman ortaya çıkar

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Bunu cebirsel olarak çözemiyoruz, bu nedenle bu işlevin sıfırlarını verilen aralıkta bulmak için bir hesap makinesi kullanın. #0,1#:

grafik {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

Aralık içindeki iki kritik değer #, X = 0 # ve # Xapprox0.6485 #.

Yani, biz asgari değerinin biliyoruz #g (x) # meydana gelebilir #3# farklı yerler:

• #, X = 0 # veya #, X = 1 #, aralığın bitiş noktaları
• #, X = 0 # veya # X = 0,6485 #, aralıktaki kritik değerler

Şimdi, bu olası değerlerin her birini aralığa takın:

# {(G (0) = 0, renkli (kırmızı) metni (en az)), (g (0,6485) = 0,5792, renkli (mavi) metni (maksimum)), (g (1) = 0, renkli (kırmızı) metin (minimum)):} #

Eşit derecede düşük iki değer olduğundan, her ikisinde de minima vardır. #, X = 0 # ve #, X = 1 #. Unutmayın ki biz sorun bulmaktan geçti # X = 0,6485 #, minimum bile değildi.

Graphed #g (x) # aralıkta #0,1#:

grafik {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Ayrıca, asgari değerin #0#, dan beri #g (0) = gr (1) = 0 #. Ayrım bu #, X = 0 # ve #, X = 1 # Minima'nın yerleri.