Minimum g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4) değeri nedir? [-2,2] aralığında?

Cevap:

Minimum değer # x = 1-sqrt 5 yaklaşık "-" 1,236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) yaklaşık "-" 0,405 #.

Açıklama:

Kapalı bir aralıkta, minimum olası yerler:

• aralık içinde yerel bir minimum, veya
• Aralığın bitiş noktaları.

Bu nedenle değerleri hesaplar ve karşılaştırırız. #g (x) # herhangi # "" -2 ", 2 # bu yapar #g '(x) = 0 #yanı sıra # x = "- 2" # ve #, X = 2 #.

İlk: ne #g '(x) #? Bölüm kuralını kullanarak şunları elde ederiz:

#g '(x) = ((1) (X ^ 2 + 4) - (x-1), (2 x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (beyaz) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (beyaz) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Pay sıfır olduğunda bu sıfıra eşit olacaktır. Kuadratik formülle,

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 yaklaşık {"-1.236", 3.236} #

Bunlardan sadece biri # X #-değerleri #'-2',2#, ve bu # x = 1-sqrt 5 #.

Şimdi hesaplıyoruz:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (beyaz) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5))) * renk (mavi) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (beyaz) (g (1- sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#renk (beyaz) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) yaklaşık "-" 0,405 #

3. # g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0.125 #

Bu üç değerin karşılaştırılması #g (x) #bunu görüyoruz #g (1 m2 5) # en küçüğüdür. Yani # - (1+ sqrt 5) / 8 # bizim asgari değerimiz #g (x) # üzerinde #'-'2, 2#.