Üçüncü derece Taylor polinomunu f (x) = ln x için a = 2 merkezli olarak nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

#ln (2) + 1/2 (x-2) -1/8, (x-2) ^ 2 + 1/24, (x-2) ^ 3 #.

Açıklama:

Bir Taylor genleşmesinin genel şekli merkezde # Bir # analitik fonksiyonun # F # olduğu #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)), (a) / (n!) (X-a) ^ n #. İşte #f ^ ((n)) # in türevidir # F #.

Üçüncü derece Taylor polinomu ilk dört taneden oluşan bir polinomdur (# N # arasında değişen #0# için #3#tam Taylor genişlemesi terimleri.

Bu nedenle bu polinom #f (a) + f (a), (x-a) + (f '(a)) / 2 (X-a) ^ 2 + (f' (a)) / 6 (X-a) ^ 3 #.

#f (x) = İn (x) #bu nedenle #f '(x) = 1 / x #, #f '(x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' (x) = 2 / x ^ 3 #. Yani üçüncü derece Taylor polinomu:

#ln (a) + 1 / a (X-a) -1 / (2a ^ 2) (X-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3), (x-a) ^ 3 #.

Şimdi biz var # A = 2 #yani polinomumuz var:

#ln (2) + 1/2 (x-2) -1/8, (x-2) ^ 2 + 1/24, (x-2) ^ 3 #.