X = 0'da ortalanan e ^ (- 2x) 'in Taylor genişlemesi nedir?

Cevap:

# E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2/3 x ^ 4 … #

Açıklama:

Taylor serisinin durumu genişledi #0# Maclaurin serisi denir. Bir Maclaurin serisi için genel formül:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ n (0) / (n!) x ^ n #

İşlevimiz için bir seri hazırlamak için işlev için başlayabiliriz: # E ^ x # ve sonra bunu için bir formül bulmak için kullanın. #e ^ (- 2x) #.

Maclaurin serisini oluşturmak için, türevinin ilk türünü bulmamız gerekir. # E ^ x #. Birkaç türev alırsak, bir deseni oldukça hızlı bir şekilde görebiliriz:

#f (x) = E ^ x #

#f '(x) = E ^ x #

#f '(x) = E ^ x #

Aslında, nth türevi # E ^ x # sadece # E ^ x #. Bunu Maclaurin formülüne ekleyebiliriz:

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) X ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + X ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) … #

Şimdi bizim için bir taylor serisi var. # E ^ x #, sadece tüm yerini alabiliriz # X #ile #-2 kere# bir dizi elde etmek #e ^ (- 2x) #:

# E ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ N = #

/ (1!) # = 1-2, x + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

aradığımız dizi bu.