Bunun toplamı nasıl hesaplanır? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Düşünen #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

fakat # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # ve

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # sonra

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Cevap:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # ne zaman # | X | <1 #

Açıklama:

Bazı katsayıları yazarak başlarız:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

Bakmak istediğimiz ilk şey katsayılardır (derecesi # X # Serileri çarparak ve bölerek kolayca ayarlanabilir # X #, yani önemli değiller). Onların hepsinin iki katı olduğunu görüyoruz, bu yüzden ikilik bir faktör ortaya çıkarabiliriz:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Bu parantez içindeki katsayılar gücüne sahip binom serisi olarak tanınabilir. # A = -3 #:

# (1 + x) ^ a = 1 + alphax + (alfa (a-1),) / (2!) X ^ 2 + (alfa (a-1), (a-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Parantez içindeki tüm terimlerin üstlerinin, sadece türettiğimiz dizilere kıyasla iki kat daha büyük olduğunu fark ettik, bu yüzden çarpmalıyız. # X ^ 2 # doğru seriyi elde etmek için:

# 2 x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Bu, dizimizin (birleştiğinde) eşittir olduğu anlamına gelir:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Sadece bir hata yapmadığımızı doğrulamak için, bir seriyi hesaplamak için Binom Serisini hızlıca kullanabiliriz. # 2 x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2 x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2 x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 x 2!) X ^ 2- (5!) / (2 x 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 x 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2 x ^ 3 …) = #

Bu modeli şöyle tanımlayabiliriz:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = toplam_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

İlk dönem sadece #0#, yazabiliriz:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

başladığımız seri, sonucumuzu doğrulamak.

Şimdi serinin gerçekte ne zaman bir değeri olduğunu görmek için yakınsama aralığını bulmamız gerekiyor. Bunu binom serisinin yakınsaklık koşullarına bakarak yapabiliriz ve bu serinin ne zaman yakınsadığını buluruz. # | X | <1 #