116m çevresine sahip bir dikdörtgenin maksimum alanı nedir?

Cevap:

Alan, #A = 841 "m" ^ 2 #

Açıklama:

L = uzunluk olsun

W = genişlik olsun

Çevre, #P = 2L + 2W #

Verilen: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

L açısından W'yi çözün:

#W = 58 "m" - L "1" #

Alan, #A = LW "2" #

1 denkleminin sağ tarafını W için 2 denkleminin yerine koyun:

# A = L (58 "m" - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 "m") L #

Alanı maksimize eden L'nin değerini elde etmek için, ilk türevini L'ye göre hesaplayın, 0'a eşitleyin ve L için çözün:

İlk türev:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

0'a eşitleyin:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

W değerini bulmak için 1 denklemini kullanın:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

Bu, maksimum Alan üreten dikdörtgenin bir kare olduğunu gösterir. Alan:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Cevap:

# 841m ^ 2 #.

Açıklama:

Bu sorunu kullanarak çözeceğiz Cebirsel Yöntemler. Olarak

İkinci çözüm kullanarak çözeceğiz hesap

let #l ve w # dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği olmalıdır.

Sonra, dikdörtgenin alanı# = Lw. #

Sonra verilenlere göre, # 2 (l + w) = 116 veya, (l + w) / 2 = 29 #.

Burada, aşağıdakileri kullanıyoruz AGH Eşitsizliği Gerçek:

Eğer A, G ve H onlar Aritmetik, Geometrik ve Harmonik Araçlar

arasında # a, b RR ^ + uu {0} "sırasıyla," A> = G> = H #

# "Burada" A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b).

Bu nedenle, # (l + w) / 2> = sqrt (lw) veya, ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Bu şu demek, # "Alan =" lb <= (29) ^ 2 #

Dolayısıyla, maksimum dikdörtgenin alanı# = 841m ^ 2 #.