Derece dereceli bir polinomun ayırt edici için genel formülü nedir?

Cevap:

Açıklamaya bakınız …

Açıklama:

Polinom ayırıcı #f (x) # derece # N # Sylvester matrisinin determinantı cinsinden tarif edilebilir. #f (x) # ve #f '(x) # aşağıdaki gibi:

Verilen:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Sahibiz:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Sylvester matrisi #f (x) # ve #f '(x) # bir # (2-n-1 (xx) 2-n-1) # Aşağıdaki örneğe benzer şekilde, katsayıları kullanılarak oluşturulan matris, # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0), 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Sonra ayrımcı #Delta# aşağıdaki formül ile Sylvester matrisinin determinantı cinsinden verilmiştir:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

İçin # N = 2 # sahibiz:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(formda daha çok tanınan bulabilirsiniz #Delta = b ^ 2-4ac #)

İçin # N = 3 # sahibiz:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (3, 3a_3), 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (beyaz) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Kuadratik için ayrımcılık yapanlar (# N = 2 #) ve kübik (# N = 3 #) bir polinomun tam olarak kaç tane gerçek, tekrarlanan veya gerçek olmayan kompleks sıfır olduğunu söylemelerinde en faydalı olanıdır.

Yüksek dereceli polinomlar için diskriminantın yorumlanması daha sınırlıdır, ancak polinomun her zaman sıfırcı olması durumunda ve sadece diskriminant sıfır olduğunda özelliğe sahiptir.

#Beyaz renk)()#

daha fazla okuma

Http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sjN5.pdf adresini ziyaret edin.