Sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) sayısının 1'den büyük herhangi bir doğal sayı için rasyonel olmadığını kanıtlayın.

Cevap:

Açıklamaya bakınız …

Açıklama:

varsayalım:

#sqrt (n 1 + sqrt (2 + … + sqrt ())) # rasyonel

O zaman karesi rasyonel olmalı, yani:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

ve dolayısıyla:

#sqrt (n 2 + sqrt (3 + … + sqrt ())) #

Aşağıdakilerin rasyonel olması gerektiğini bulmak için tekrar tekrar kare yapabilir ve çıkarabiliriz:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n)))), (sqrt (n)):} #

bundan dolayı # N = k ^ 2 # bazı pozitif tamsayılar için #k> 1 # ve:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Bunu not et:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

bundan dolayı # K ^ 2 + k-1 # ya da bir tamsayı karesi değil ve #sqrt (k ^ 2 + k-1) # mantıksız, iddiamızla çelişiyor #sqrt (n-1 + SQRT (n)) # rasyonel.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

varsayarsak

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + SQRT (n))) = p / q # ile # P / q # indirgenemez

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

bu bir saçmadır, çünkü bu sonuca göre pozitif bir tamsayıya ait herhangi bir karekökü rasyoneldir.