Cevap:
#, X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Açıklama:
Bu kuartik rasyonel köklere sahip olmadığından (ve formüllerle rahatsız edemiyorum), kökleri yaklaşık olarak belirlemek için Newton'un yöntemini kullanarak başlarız:
# X ~~ -0,303 #
# X ~~ -0,618 #
# X ~~ 1.618 #
# X ~~ 3.303 #
Bunlardan bunu buluyoruz # X ~~ -0,618 # ve # X ~~ 1.618 # dikkat çekmek. Bunları altın oran olarak kabul ediyoruz:
#, X = (1 + -sqrt5) / 2 #
Aynı zamanda onların denklem içine takarak kök olduklarını da doğrulayabiliriz, ancak sadece onların kök olduğuna dair sözümü alabilirsin.
Bu, aşağıdakilerin denklemin bir faktörü olduğu anlamına gelir:
# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2, x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = X ^ 2-X-1 #
O zamandan beri biliyoruz # X, ^ 2-X-1 # bir faktördür, geri kalanı bulmak için polinom uzun birimini kullanabiliriz ve denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:
# (X ^ 2-X-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
Sol faktörün sıfıra eşit olduğu zaman çoktan anladık, şimdi sağa bakıyoruz. İkinci dereceden formülü kullanarak ikinci dereceden çözebiliriz:
#, X = (3 + -sqrt13) / 2 #
