X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. X için nasıl çözülür?

X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. X için nasıl çözülür?
Anonim

Cevap:

#, X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Açıklama:

Bu kuartik rasyonel köklere sahip olmadığından (ve formüllerle rahatsız edemiyorum), kökleri yaklaşık olarak belirlemek için Newton'un yöntemini kullanarak başlarız:

# X ~~ -0,303 #

# X ~~ -0,618 #

# X ~~ 1.618 #

# X ~~ 3.303 #

Bunlardan bunu buluyoruz # X ~~ -0,618 # ve # X ~~ 1.618 # dikkat çekmek. Bunları altın oran olarak kabul ediyoruz:

#, X = (1 + -sqrt5) / 2 #

Aynı zamanda onların denklem içine takarak kök olduklarını da doğrulayabiliriz, ancak sadece onların kök olduğuna dair sözümü alabilirsin.

Bu, aşağıdakilerin denklemin bir faktörü olduğu anlamına gelir:

# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2, x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = X ^ 2-X-1 #

O zamandan beri biliyoruz # X, ^ 2-X-1 # bir faktördür, geri kalanı bulmak için polinom uzun birimini kullanabiliriz ve denklemi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

# (X ^ 2-X-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Sol faktörün sıfıra eşit olduğu zaman çoktan anladık, şimdi sağa bakıyoruz. İkinci dereceden formülü kullanarak ikinci dereceden çözebiliriz:

#, X = (3 + -sqrt13) / 2 #