Neden x ^ x'i bütünleştiremiyoruz?

Cevap:

Bunun için bir kuralımız yok.

Açıklama:

İntegrallerde standart kurallarımız vardır. Zincir karşıtı kural, ürün karşıtı kural, güç karşıtı kural vb. Fakat bir işlevi olan bir işlevimiz yok. # X # Hem temelde hem de güçte. Bunun türevini gayet iyi alabiliriz, ancak çalışacağı kuralların eksikliği nedeniyle integralini almaya çalışmak imkansızdır.

Desmos Graphing Calculator'ı açarsanız, fişe takmayı deneyebilirsiniz.

# int_0 ^ x a ^ ada #

ve sadece iyi grafik olacak. Ancak buna karşı grafik oluşturmak için güç karşıtı kural veya üs karşıtı kural kullanmaya çalışırsanız, başarısız olduğunu görürsünüz. Bulmaya çalıştığımda (hala üzerinde çalışıyorum), ilk adımım bu formdan ve aşağıdakilerden kurtulmaktı:

# İnte ^ (XLN (x)) dx #

Bu aslında matematik kurallarını biraz daha iyi kullanmamızı sağlar. Ancak Parçalarla Entegrasyon kullanılırken bile, aslında integralden asla kurtulmazsınız. Bu nedenle, aslında onu belirlemek için bir işlev almazsınız.

Ama her zaman olduğu gibi Math'da denemek eğlenceli.Öyleyse devam edin ve deneyin, ama çok uzun veya zor olmasa da, bu tavşan deliğine gireceksiniz.

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

#y = x ^ x # entegre edilebilir Örneğin

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

Başka bir şey, şimdi bir gün, bir işlev olması #f (x) # kapalı biçimde temsil eden, ilkel olan # X ^ x # veya başka bir deyişle, öyle ki

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Bu teknik-bilimsel problemlerde ortak kullanımın bir fonksiyonu olsaydı, kesinlikle onu manipüle etmek için farklı bir isim ve sembol icat ederdik. Olarak tanımlanan Lambert işlevi gibi

#W (x) = x e ^ x #

Cevap:

Lütfen aşağıya bakın.

Açıklama:

Cesareo'nun belirttiği gibi (söylemeden), “bütünleşemeyiz” de bazı belirsizlikler vardır.

İşlev #f (x) = x ^ x # devam ediyor # (0, oo) #

ve üzerinde # 0, oo) # eğer yaparsak #f (0) = 1 #, hadi yapalım şunu. Bu nedenle, kesin integral

# int_a ^ b x ^ x dx # herkes için var mı # 0 <= a <= b #

Dahası, temel kümülüs teoremi bize fonksiyonun söyler. # int_0 ^ x t ^ t dt # türev var # X ^ x # için #x> = 0 #

Yapamayacağımız şey, bu işlevi güzel, sonlu, kapalı bir cebirsel ifade biçiminde ifade etmek (ya da aşkın işlevleri bilmesidir).

Matematikte art arda daha iyi yaklaşımlara izin veren bir form dışında ifade edilemeyecek pek çok şey vardır.

Örneğin:

Kare olan sayı #2# sonlu bir ifade kullanılarak ondalık veya kesirli biçimde ifade edilemez. Böylece bir sembol veriyoruz # Sqrt2 # ve istenen herhangi bir hassasiyet seviyesine yaklaştırın.

Çevrenin bir dairenin çapına oranı, tam sayıların sonlu bir cebirsel kombinasyonu kullanılarak kesin olarak ifade edilemez, bu yüzden ona bir ad veriyoruz, # Pi # ve istenen herhangi bir hassasiyet seviyesine yaklaştırın.

Çözüm # X = cosx # ayrıca istenen herhangi bir doğruluk derecesine de yaklaşılabilir, ancak kesin olarak ifade edilemez. Bu numara (belki de) bir isim verilecek kadar önemli değildir.

Cesareo'nun dediği gibi, eğer # X ^ x # birçok uygulama yapıldığında, matematikçiler bunun için bir isim edinirdi.

Ancak hesaplamalar hala sonsuz bir yaklaşım gerektiriyor.