Neden 5'in karekökü irrasyonel bir sayıdır?

Cevap:

Açıklamaya bakınız …

Açıklama:

İşte çelişkiyle bir ispat taslağı:

varsaymak #sqrt (5) = p / q # bazı pozitif tamsayılar için # P # ve # Q #.

Genelliğini kaybetmeden, bunu varsayabiliriz. #p, q # en küçük sayılardır.

Sonra tanımı gereği:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Her iki ucu da çarpma # Q ^ 2 # almak:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Yani # P ^ 2 # tarafından bölünebilir #5#.

O zamandan beri #5# asal # P # tarafından bölünebilir olmalı #5# çok.

Yani #p = 5m # bazı pozitif tamsayılar için # M #.

Böylece sahibiz:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Her iki ucu da bölün #5# almak:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Her iki ucu da bölün # M ^ 2 # almak:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Yani #sqrt (5) = q / m #

şimdi #p> q> m #, yani #q, m # katsayısı daha küçük olan bir tam sayı çifti #sqrt (5) #, hipotezimizle çelişen.

Yani bizim hipotezimiz bu #sqrt (5) # ile temsil edilebilir # P / q # bazı tamsayılar için # P # ve # Q # yanlış. Yani, #sqrt (5) # rasyonel değil. Yani, #sqrt (5) # irrasyoneldir.