K için hangi değerler var int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

ve

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # fakat

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # ve

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # yani

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k + 2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

veya

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 2k + + 2 = 0 ^ 2):} #

en sonunda

gerçek değerler #k = {-2,2} #

karmaşık değerler #k = {-1pm i sqrt3,1 pm i sqrt3} #

Cevap:

# k = + - 2 #

Açıklama:

Biz gerektirir:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Entegrasyon biz alıyoruz:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 renk (beyaz) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Farz et # RR # # (aslında var #6# kökler, #4# Bunların karmaşık)

Şimdi, sorunun bağlamına bağlı olarak, bir kişi bunu iddia edebilir. #K <2 # (yani #, K = -2 #) şu şekilde geçersiz #K> = 2 # iç "uygun" yapmak, böylece bu çözümü hariç tutar, ancak herhangi bir bağlam olmadan her iki çözümü de dahil etmek makul olur.

Ayrıca, unutmayın #K = + - 2 # aslında herhangi bir entegrasyon gerçekleştirmeden çözümler olarak gösterilebilir.

İlk olarak, belirli integrallerin bir özelliği şudur:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

bu yüzden hemen kurabiliriz # K = 2 # bir çözümdür.

İkinci olarak, # X ^ 5 # bir garip işlev ve tek işlevler tatmin eder:

# f (-x) = f (x) #

ve orijin etrafında dönme simetrisi vardır. gibi #f (x) # o zaman garip:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

bu yüzden hemen kurabiliriz #, K = -2 # bir çözümdür.

Entegrasyon ve sonraki hesaplamalar bunun tek çözüm olduğunu kanıtlıyor!