Aşağıdaki sonsuz tekrarlanan oyunda kazanma olasılığı nedir?

Cevap:

# "Cevap D)" #

Açıklama:

# "Tek mantıklı cevap bu, diğerleri imkansız." #

# "Bu kumarbazın mahvettiği sorun." #

# "Bir kumarbaz k dolar ile başlar." #

# "G dolara ulaşana veya 0'a geri dönene kadar oynuyor." #

#p = "Bir oyunda 1 dolar kazanma şansı." #

#q = 1 - p = "Bir oyunda 1 dolar kaybetme şansı." #

# "" R_k "diye harap olma olasılığını (şans) çağırın." #

# "O zaman biz var" #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "" 1 <= k <= G-1 #

# "Bu denklemi p + q = 1 nedeniyle aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Şimdi burada davanız var" p = q = 1/2

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "" R_k "için biz"

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Yani A oyuncusu burada k = bir dolar ile başlar ve" kadar oynar "#

# "mahvoldu veya + b doları var." #

# => k = a, "ve" G = a + b #

# "Öyleyse mahvettiği ihtimaller" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Kazanma şansı" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Cevap D)" #