İnt tan ^ 4x dx'in integrali nedir?

Cevap:

# (Kahve renkli ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Açıklama:

Trig antiderivatiflerinin çözülmesi genellikle Pisagor Kimliklerinin uygulanması için integralin parçalanması ve # U #-ikame. Burada tam olarak ne yapacağız.

Yeniden yazmaya başla # İnttan ^ 4xdx # gibi # İnttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Şimdi Pisagor Kimliğini uygulayabiliriz # Kahve renkli ^ 2x + 1 = sek ^ 2x #veya # Kahve renkli ^ 2x = sek ^ 2x-1 #:

# İnttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) açık kahverengi ^ 2xdx #

Dağıtma # Tan ^ 2x #:

#color (beyaz) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Toplam kuralını uygulama:

#color (beyaz) (XX) '= intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Bu integralleri birer birer değerlendireceğiz.

İlk İntegral

Bu bir kullanarak çözüldü # U #-ikame:

let # U = tanx #

# (Du) / dx = sek ^ 2x #

# Du = sek ^ 2xdx #

İkameyi uygulamak, #color (beyaz) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#color (beyaz) (XX) '= U ^ 3/3 + C #

Çünkü # U = tanx #, # İntsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

İkinci İntegral

Çünkü biz gerçekten ne olduğunu bilmiyoruz. # İnttan ^ 2xdx # sadece bakarak, uygulamayı deneyin # Kahve renkli ^ 2 = sek ^ 2x-1 # tekrar kimlik:

# İnttan ^ 2xdx = int (sek ^ 2x-1) dx #

Toplam kuralını kullanarak, entegral aşağıya iner:

# İntsec ^ 2xdx-int1dx #

Bunlardan ilki # İntsec ^ 2xdx #, sadece # Tanx + C #. İkincisi, "mükemmel integral" denilen şey, basitçe #, X + C #. Hepsini bir araya koyarak, söyleyebiliriz:

# İnttan ^ 2xdx = tanx C = C-X + C #

Ve çünkü # C + C # başka bir keyfi sabit, onu genel bir sabit olarak birleştirebiliriz. # C #:

# İnttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

İki sonucu birleştirerek, biz var:

# İnttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((^ kahve renkli 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (^ kahve renkli 3x) / 3-tanx + x + C #

Yine, çünkü # C + C # bir sabittir, biz onlara birleştirebiliriz. # C #.