Ters çevrilmiş bir konik tanktan 10.000 cm3 / dak hızla su akıyor, aynı zamanda su tankın içine sabit bir oranda pompalanıyor. Eğer tank 6 m yüksekliğe sahipse ve üstteki çap 4 m ise ve Suyun yüksekliği 2m olduğunda su seviyesi 20 cm / dak oranında yükseliyorsa, suyun tankın içine pompalanma oranını nasıl buluyorsunuz?

let # V # tanktaki su hacmi # Cm ^ 3 #; let # H # suyun derinliği / yüksekliği, cm olarak; ve bırak # R # su yüzeyinin yarıçapı (üstte), cm cinsinden olmalıdır. Tank ters çevrilmiş bir koni olduğundan, su kütlesi de aynıdır. Tank 6 m yüksekliğe ve 2 m üstündeki bir yarıçapa sahip olduğundan, benzer üçgenler # Frac {s} {R} = frac {6} {2} = 3 # Böylece # H = 3r #.

Tersine çevrilmiş su konisinin hacmi # V = frak {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Şimdi her iki tarafı da zamana göre farklılaştırın. # T # (dakika olarak) almak # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (Bu adımda Zincir Kuralı kullanılır).

Eğer #V_ {I} # o zaman pompalanan suyun hacmi # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (suyun yüksekliği / derinliği 2 metre olduğunda, suyun yarıçapı # Frac {200} {3} # santimetre).

bu nedenle # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 yaklaşık 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.