Bu nasıl hesaplanır? int_0 ^ 1 günlük (1-x) / xdx + Örnek

Cevap:

Aşağıya bakınız.

Açıklama:

Ne yazık ki, integralin içindeki fonksiyon, temel fonksiyonlar açısından ifade edilemeyen bir şeyle bütünleşmeyecektir. Bunu yapmak için sayısal yöntemler kullanmanız gerekecektir.

Size bir dizi genişletme kullanmak için nasıl gösterebilirim Yaklaşık değer.

Geometrik dizi ile başlayın:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n # için # Rlt1 #

Şimdi ile ilgili olarak entegre # R # ve sınırları kullanma #0# ve # X # Bunu almak için:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Sol tarafın entegre edilmesi:

# İnt_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Şimdi terimi terimle bütünleştirerek sağ tarafı birleştirin:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Böylece şöyle:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

# impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Şimdi bölün # X #:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Şimdi başlangıçta başladığımız işlev için güç serisi ifadesine sahibiz. Son olarak, tekrar almak için bütünleştirebiliriz:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Sağ el terimini terim yanına entegre etmek bize şunları verir:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Limitleri dört terimle değerlendirmek bize yaklaşık bir değer verecektir:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Şimdi, bu sadece dört terim. Daha doğru bir numara istiyorsanız seride daha fazla terim kullanın. Örneğin, 100. terime gitmek:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) /x

Bir kenara, eğer aynı işlemi uygularsanız, ancak toplama göstergesini kullanırsanız (yani, serinin terimlerini yazmak yerine büyük sigma ile), şunları bulacaksınız:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) / Xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

bu sadece 2'nin Riemann-Zeta işlevidir, yani:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) / Xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

Aslında bunun değerini biliyoruz: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Dolayısıyla, integralin tam değeri şu şekilde hesaplanabilir:

# İnt_0 ^ 1LN (1-x) / Xdx = -pi ^ 2/6 #