2. Türev Testi, f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3'ün bu kritik sayıdaki davranışı hakkında size ne söylüyor?

Cevap:

İkinci Türev Testi, kritik sayının (nokta) olduğu anlamına gelir. #, X = 4/7 # için yerel bir minimum verir # F # süre hiçbir şey söylememek doğası hakkında # F # kritik sayılarda (puanlar) # X = 0,1 #.

Açıklama:

Eğer #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, sonra Ürün Kuralı diyor

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3, (x-1) ^ 2 #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4, (x-1) + 3x) #

# = X ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Bunun sıfıra eşit ayarlanması ve # X # ima ediyor ki # F # adresinde kritik sayılar (noktalar) var # X = 0,4 / 7,1 #.

Ürün Kuralını tekrar kullanmak şunları verir:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

şimdi #f '(0) = 0 #, #f '(1) = 0 #, ve #f '(4/7) = 576/2401> 0 #.

İkinci Türev Testi bu nedenle kritik sayının (puan) olduğunu ima eder. #, X = 4/7 # için yerel bir minimum verir # F # süre hiçbir şey söylememek doğası hakkında # F # kritik sayılarda (puanlar) # X = 0,1 #.

Aslında, kritik sayı (nokta) #, X = 0 # için yerel bir maksimum verir # F # (ve İlk Türev Testi, 2. Türev Testi hiçbir bilgi vermemiş olsa da, bunu ima edecek kadar güçlüdür) ve #, X = 1 # ne yerel bir maksimum ne de minimum # F #, ancak bir (tek boyutlu) "eyer noktası".