Olmadan fonksiyonu ile başlayalım # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Bu fonksiyon elbette ki #, X = 0 # Kök olarak, faktoring yaptığımızdan beri # X #.
Diğer kökler # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, fakat bu parabolün kökleri yok. Bu, orijinal polinomun sadece bir kökü olduğu anlamına gelir.
Şimdi, bir polinom #p (x) # garip derecenin daima en az bir çözümü vardır, çünkü
#lim_ {x to infty} p (x) = - infty # ve #lim_ p {x infty olarak} (x) = infty #
ve #p (x) # sürekli olduğu için # X # bir noktada eksen.
Cevap, aşağıdaki iki sonuçtan gelir:
- Bir derece polinomu # N # tam olarak var # N # karmaşık kökler, ancak en fazla # N # gerçek kökler
- Grafiği verilen #f (x) #, grafiğini #f (x) + k # aynı şekle sahip, ancak dikey olarak çevrilmiş #K> 0 #, aksi takdirde aşağı doğru).
Yani biz başlıyoruz # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #sadece bir gerçek kök vardır (ve böylece iki karmaşık kök) ve onu dönüştürürüz. # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #Bu, onu yukarı veya aşağı çevireceğimiz anlamına gelir, bu nedenle çözüm sayısını değiştirmeyiz.
Bazı örnekler:
Orijinal işlevi: • y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
grafik {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Çevir: • y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
grafik {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Aşağı çevir: • y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
grafik {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Gördüğünüz gibi her zaman bir kök var
Cevap:
Aşağıya bakınız
Açıklama:
Alternatif, belki daha şık bir çözüm:
polinomunuzun türevi # 3x ^ 2-4x + 2 #Bir parabol olan, kökleri olmayan içbükey ve dolayısıyla her zaman pozitif. Yani, # F # geçerli:
- Monoton olarak artan
- #lim_ {x am infty olarak} f (x) = am infty #
- # "°" (f) = 3 #
İlk iki puan gösteriyor ki # F # tam olarak bir kökü vardır ve üçüncüsü diğer iki kökün karmaşık olmasıdır.
