Sqrt21 gerçek sayı, rasyonel sayı, tam sayı, Tam sayı, İrrasyonel sayı mı?

Cevap:

Bu irrasyonel bir sayıdır ve bu nedenle gerçektir.

Açıklama:

İlk önce bunu ispatlayalım #sqrt (21) # gerçek bir sayıdır, aslında tüm pozitif gerçek sayıların karekökü gerçektir. Eğer # X # gerçek bir sayıdır, o zaman pozitif sayıları tanımlarız. #sqrt (x) = sup "" {yinRR y ^ 2 <= x} #. Bu, tüm gerçek sayılara baktığımız anlamına gelir • y # öyle ki • y ^ 2 <= x # ve hepsinden daha büyük olan en küçük gerçek sayıyı al • y #'s, sözde supremum. Negatif sayılar için bunlar • y #yok, çünkü tüm gerçek sayılar için bu sayının karesini almak pozitif sayıyla sonuçlanır ve tüm pozitif sayılar negatif sayılardan daha büyüktür.

Tüm pozitif sayılar için her zaman bazı • y # bu duruma uyan • y ^ 2 <= x #, yani #0#. Ayrıca, bu numaralara bir üst sınır vardır, yani #, X + 1 #, çünkü eğer # 0 <= y <1 #, sonra #, X + 1> y #, Eğer #y> = 1 #, sonra #y <= y ^ 2 <= x #, yani #, X + 1> y #. Her sınırlı sınırlı boş gerçek sayı kümesi için, sözde tamlığı nedeniyle her zaman bir üstünlük görevi gören benzersiz bir gerçek sayı olduğunu gösterebiliriz. # RR #. Yani tüm pozitif gerçek sayılar için # X # gerçek var #sqrt (x) #. Bunu da gösterebiliriz. #sqrt (x) ^ 2 = x #ama benden istemiyorsanız, bunu ispat etmeyeceğim. Son olarak biz not #sqrt (x)> = 0 #, dan beri #0# daha önce belirtildiği gibi duruma uyan bir sayıdır.

Şimdi irrasyonellik için #sqrt (21) #. Eğer irrasyonel olmasaydı (bu kadar rasyonel), #sqrt (21) a / b # = ile # Bir # ve # B # tam sayılar ve # A / b # mümkün olduğu kadar basitleştirilmiş, yani # Bir # ve # B # ortak bir bölen #1#. Şimdi bu demek oluyor ki 21. = a ^ 2 / b ^ 2 #.

Şimdi doğal sayıların asal çarpanlara ayırması adı verilen bir şey kullanıyoruz. Bu, her pozitif tam sayıyı, asal sayıların benzersiz bir ürünü olarak yazabileceğimiz anlamına gelir. İçin #21# bu #3*7# ve için # Bir # ve # B # bu bazı primerlerin rasgele bir ürünüdür. # A = a_1 * … * a_n # ve # B = b_1 * … * b_m #. Tek ortak bölen olması # Bir # ve # B # olduğu #1# gerçeğe eşdeğerdir # Bir # ve # B # çarpanlara ayırmada hiçbir asal pay paylaşmadıkları için # A_i # ve # B_j # öyle ki # A_i = b_j #. Bu şu demek # Bir ^ 2 # ve # B ^ 2 # Ayrıca hiçbir primerleri paylaşmazsınız, çünkü # Bir ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # ve # B ^ 2 = b_1 * b_1 * … b_m * b_m #., bu nedenle, tek ortak bölen # Bir ^ 2 # ve # B ^ 2 # olduğu #1#. Dan beri # Bir ^ 2 = 21b ^ 2 #, Bunun anlamı # B ^ 2 = 1 #, yani # B = 1 #. bu nedenle #sqrt (21) # =. Bunun yalnızca aşağıdaki varsayımın altında olduğunu unutmayın. #sqrt (21) # rasyonel.

Şimdi elbette ki tüm küçük sayılardan daha küçük olanları bulabiliriz. #21# ve onları kareleri vermek olup olmadığını kontrol edin #21#, ama bu sıkıcı bir yöntemdir. Daha ilginç bir şekilde yapmak için, tekrar baş harflerimize dönüyoruz. Biz biliyoruz ki # Bir ^ 2 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n # ve #21=3*7#, yani 3. * 7 = a_1 * a_1 * … * a_n * a_n #. Sol tarafta, her asal yalnızca bir kez, sağ tarafta, her asal en az iki kez ve her zaman eşit miktarda oluşur (eğer # A_1 = a_n # bu instace için en az dört kez meydana gelirdi). Ancak belirttiğimiz gibi, bu ana faktörleşmeler benzersizdir, bu doğru olamaz. bu nedenle # 21nea ^ 2 #, yani #anesqrt (21) #, bizim önceki varsayımımız anlamına gelir #sqrt (21) # rasyonel olmak yanlış olduğu ortaya çıktı #sqrt (21) # irrasyoneldir.

Aynı argümanın tüm pozitif sayılar için geçerli olduğunu unutmayın. # X # Asal sayılardan birinin düzensiz olduğu bir asal çarpanlara ayırma ile, çünkü tam sayının karesi her zaman asal çarpanların her zaman eşit miktarda ortaya çıkar. Bundan, eğer sonuç # X # pozitif bir tam sayıdır (#x inNN #) sadece eşit olmayan sürelerde ortaya çıkan temel faktöre sahip, #sqrt (x) # irrasyonel olacak.

Bu ispatın biraz uzun olabileceğini biliyorum ama matematiği oluşturan önemli kavramları kullanıyor. Muhtemelen, herhangi bir lise müfredatında, bu tür sebepler dahil edilmemiştir (% 100 emin değilim, dünyadaki her lise müfredatını bilmiyorum), ancak gerçek matematikçiler için, kanıtlamak, Yaptıkları en önemli faaliyetler. Bu nedenle, size hangi tür matematiğin temelleri oluşturduğunun arkasında olduğunu göstermek istedim. Bundan kurtulmanız gereken şey, bu gerçekten #sqrt (21) # irrasyonel bir sayıdır.