F (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x'in x ekseni etrafında [1,3] 'te x döndürülmesiyle oluşturulan katının yüzey alanı nedir?

Cevap:

İşareti belirleyin, ardından parçalara entegre edin. Alan:

# A = 39,6345 #

Açıklama:

Olup olmadığını bilmek zorunda #f (x) # negatif veya pozitif #1,3#. Bu nedenle:

# Xe ^ -x-xe ^ x #

# x (e ^ -x-e ^ x) #

Bir işareti belirlemek için, ikinci faktör şu durumlarda pozitif olacaktır:

# E ^ -x-e ^ x> 0 #

1. / e ^ x-e ^ x> 0 #

# E ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Dan beri # E ^ x> 0 # herhangi #x içinde (-oo, + oo) # eşitsizlik değişmez:

1.-e ^ (x + x)> 0 #

1.-e ^ (2x)> 0 #

# E ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

# x <0 #

Bu nedenle, işlev yalnızca x negatif ve tersi olduğunda pozitif olur. Ayrıca bir de var # X # faktör #f (x) #

#f (x) = (E ^ -x-e ^ x) #

Bir faktör pozitif olduğunda, diğeri negatif olur, yani f (x) her zaman olumsuz. Bu nedenle, Alan:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (Xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + int_1 ^ 3XE ^ Xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (E ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x) dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ Xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ Xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (E ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (E ^ 3e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / E ^ 3-1 / e + 3e ^ 3e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Hesap makinesini kullanarak:

# A = 39,6345 #

Cevap:

Alan = 11.336.8 birim kare

Açıklama:

verilen #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

sadelik için izin #f (x) y # =

ve # y = xe ^ -x -xe ^ x #

ilk türev • y '# yüzey alanının hesaplanmasında gereklidir.

alan # = 2pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

nerede # Ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

alan # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

İlk türevi belirle • y '#:

ayırt etmek # y = x (e ^ -x - e ^ x) # ürün formülünün türevini kullanarak

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

sadeleştirme ve faktoring işleminden sonra, sonuç

ilk türev • y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Şimdi Alanı Hesapla:

Alan = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # Ds #

alan # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # Dx #

alan

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Bunun gibi karmaşık integraller için Simpson'ın Kuralını kullanabiliriz:

Böylece

alan

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # Dx #

Alan = -11,336.804

Bu, devir yönünü içerir, böylece negatif yüzey alanı veya pozitif yüzey alanı olabilir. Sadece pozitif değeri düşünelim. Alan = 11336.804 kare birim