Psi (x, t) = sqrt (1 / L) günah ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) günah ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) yeni soru ?

#a) #

Sadece almak gerekir #Psi ^ "*" Psi #.

#color (mavi) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) günah ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) günah ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) günah ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) günah ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) günah ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) günah ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) günah ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) günah ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) günah ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L günah ((pix) / L) günah ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L günah ^ 2 ((2pix) / L) #

# = renk (mavi) (1 / L günah ^ 2 ((pix) / L) + günah ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L günah ((pix) / L) günah ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Dönem, yalnızca hareketin sabitleri olan enerjileri bilmek suretiyle minimum çabayla bulunabilir.

Enerjisini # phi_1 = sqrt (1 / L) günah ((pix) / L) # olduğu # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #ve enerjisini # Phi_2 # olduğu # 4E_1 #. Bu nedenle, frekans # Omega_2 # arasında # Phi_2 # bunun dört katı # Phi_1 # (# Omega_1 #).

Sonuç olarak, dönem # T_1 = (2pi) / (omega_1) # arasında # Phi_1 # bunun dört katı # Phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #ve aynı zamanda # Phi_2 #.

Böylece dönem #color (mavi) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Bunu kendi başınıza takmanıza izin vereceğim #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Onunla hiçbir şey yapmana gerek yok …

Biz biliyoruz ki #T = (2pi) / (omega_1) #, ve şu # (iEt) / ℏ = iomegat #, yani

#E_n = omega_nℏ #.

Sonuç olarak, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

ve

#color (mavi) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) 8) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = renk (mavi) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

İçinde parçacığı bulma olasılığı # 0, L / 2 # olarak verilir

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) günah ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L), sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

İlk iki terim genlik yarısı ile simetrik ve verim #50%# Genel.

Üçüncü terimin durağan hal olasılığı vardır 4. / (3pi) #, ve # Cos # isteğe bağlı bir faz faktörüdür. Böylece, genel olasılık

# = renkli (mavi) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (mavi) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) günah ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Buna önemsiz bir çözüm yok … Bu ortaya çıkıyor:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = renk (mavi) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

at #x = L / 2 #, #günah# şartlar #sin (pi / 2) = 1 # ve için #sin (pi) = 0 #, sırasıyla.

Dan beri #sin (pi) = 0 #, zamana bağlı #Psi ^ "*" Psi # yok olur ve zamandan bağımsız parça korunur 1. / L # olasılık yoğunluğu olarak.