Balta çöz ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Cevap:

Hızlı bir eskiz …

Açıklama:

Verilen:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # ile #a! = 0 #

Bu oldukça çabuk dağılıyor, o yüzden sadece bir yöntemin taslağını vereceğim …

İle çarp # 256a ^ 3 # ve yerine #t = (4ax + b) # Formun depresyonlu bir kuartik bölümünü almak için:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Bunun içinde bir terim olmadığından # T ^ 3 #, şeklinde faktör gerekir:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (beyaz) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Katsayıları eşitlemek ve biraz yeniden düzenlemek, biz:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Yani buluyoruz:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (beyaz) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (beyaz) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Çarpma, çarpma # A ^ 2 # ve hafifçe yeniden düzenleme, bu olur:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Bu "kübik" # A ^ 2 #"en az bir gerçek kök var. İdeal olarak, için iki olası gerçek değer üreten pozitif bir gerçek kök vardır. # A #. Ne olursa olsun, herhangi bir kübik kökü yapacak.

Değeri göz önüne alındığında # A #, sahibiz:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Bu yüzden çözmek için iki quadratics olsun.