Cevap:
# x = arctan (-3) + 180 ^ yaklaşık k veya x = -45 ^ yaklaşık + 180 ^ yaklaşık k dört # tamsayı için # K. #
Açıklama:
Bunu iki farklı yolla çalıştım ama bence bu üçüncü yol en iyisi. Kosinüs için birkaç çift açılı formül vardır. Hiçbiri tarafından ayartılmayalım. Aynı zamanda denklemler yapmaktan kaçınalım.
#cos 2x + 2 günah 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 günah 2x = -2 #
Kosinüs ve sinüsün doğrusal kombinasyonu, faz kaydırılmış bir kosinüsdür.
let # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # ve
# theta = metin {Ark} metin {tan} (2/1) #
Başlıca ters teğet, burada ilk çeyreğinde, çevresinde belirttim # Teta = 63.4 ^ circ #. Biz emin
#r çünkü theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r sin teta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
Böylece denklemimizi yeniden yazabiliriz
#sqrt {5} ((1 / sqrt {5}) çünkü 2x + (2 / sqrt {5}) günah 2x) = -2 #
# (1 / sqrt {5}) çünkü 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# çünkü 2x cos teta + günah 2x sin teta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - teta) = günah (-theta) #
#cos (2x - teta) = cos (90 ^ yaklaşık + teta) #
Genel çözümü her zaman hatırla #cos x = çünkü bir # olduğu # x = pm a + 360 ^ yaklaşık # quad # tamsayı için # K.
# 2x - teta = pm (90 ^ circ + teta) + 360 ^ yaklaşık k #
# 2x = teta pm (90 ^ circ + teta) + 360 ^ yaklaşık k #
# x = teta / 2 pm (45 ^ circ + teta / 2) + 180 ^ circ #
İşaretleri birer birer almak, # x = teta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k veya x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # Daha iyi bir ifade elde etmek için deneyebileceğimiz bir sabittir:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ yaklaşık) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Biliyoruz # Phi # İkinci kadranda, ana değerin olağan aralığında değil.
#phi = metin {Ark} metin {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Önemli değil, çünkü biz ekliyoruz. # 180 ^ yaklaşık k # için # Phi # Zaten genel çözümde. Hepsini bir araya koy, # x = arctan (-3) + 180 ^ yaklaşık k veya x = -45 ^ yaklaşık + 180 ^ yaklaşık k #
Arktan'ın asıl değeri konusunda titiz olmak zorunda değiliz; eklediğimizden beri # 180 ^ yaklaşık k # herhangi bir değer yapacak. İlkini biz yazabiliriz #, X = arctan (-3) # ile # 180 ^ yaklaşık k # ima etti ama burada bırakalım.
