Cevap:
Denklemin geçerli olduğunu sanmıyorum. Farz ediyorum #abs (Z) # mutlak değer işlevi
Açıklama:
İki terim deneyin # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
bundan dolayı
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Belki de karmaşık sayılar için üçgen eşitsizliğini kastediyorsunuz:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Bunu kısaltabiliriz
# | sum z_i | le sum | z_i | #
toplamlar nerede #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Asıl kısım asla büyüklükten büyük değildir. let # Z = x + iy # bazıları için # X # ve • y #. Açıkça # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # ve kare kökleri alarak # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Büyüklük her zaman pozitiftir; # X # olabilir veya olmayabilir; Her iki durumda da asla büyüklüğünden daha fazla değildir.
Eşlenik için üst çubuğu kullanacağım. Burada gerçek bir sayıya sahibiz, eşleniklerin ürününe eşit olan kare büyüklüğü.İşin püf noktası, kendi gerçek kısmına eşit olmasıdır. Toplamın gerçek kısmı, gerçek parçaların toplamıdır.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = metin {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i metin {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Lemamıza göre, ürünün büyüklüğü, büyüklüklerin çarpımıdır ve eşleniklerin büyüklüğü eşittir,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Toplamın büyüklüğünün bir faktörünü iptal edebiliriz # | sum z_i | #, bu olumludur, eşitsizliği korumak.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Bunu ispat etmek istedik.
