Bunu nasıl kanıtlıyorsunuz: secx - cosx = sinx tanx?

Tanımlarını kullanarak # Secx # ve # Tanx #kimlikle birlikte

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, sahibiz

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx Cos ^ 2x / cosx #

# = (1-cos ^ 2x) / cosx #

# = Sin ^ 2x / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = Sinxtanx #

Cevap:

İlk önce tüm terimleri dönüştür # Sinx # ve # Cosx #.

İkinci olarak, LHS'ye kesir toplamı kuralları uygulayın.

Son olarak Pisagor kimliğini uygularız: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

Açıklama:

Öncelikle bu formların sorularında tüm terimleri sinüs ve kosinüs haline getirmek iyi bir fikirdir: #tan x # ile #sin x / cos x #

ve değiştir #sec x # ile # 1 / çünkü x #.

LHS, #sec x- cos x # olur # 1 / çünkü x- cos x #.

RHS, # günah x tan x # olur #sin x günah x / cos x # veya # sin ^ 2 x / cos x #.

Şimdi LHS'ye kesir toplamı kurallarını uyguluyoruz, ortak bir temel oluşturduk (tıpkı sayı kesirindeki gibi) #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

Son olarak Pisagor kimliğini uygularız: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (bu tür problemler için en kullanışlı kimliklerden biri).

Yeniden düzenleyerek elde # 1- cos ^ 2 x = günah ^ 2 x #.

Yerine # 1- cos ^ 2 x # ile LHS içinde # günah ^ 2 x #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # değiştirilmiş RHS'ye eşittir.

Böylece LHS = RHS Q.E.D.

Kesir kurallarını ve Pisagor kimliğini kullanarak, şeyleri sinüs ve kosinüs olarak ele almanın bu genel modelini sık sık bu tür soruları çözdüğüne dikkat edin.

Arzu edersek, sağ tarafı da sol tarafa uyacak şekilde değiştirebiliriz.

Yazmalıyız # Sinxtanx # açısından # Sinx # ve # Cosx #, kimliği kullanarak #color (kırmızı) (tanx = sinx / cosx) #:

# Sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = sin ^ 2x / cosx #

Şimdi, Pisagor kimliğini kullanıyoruz. # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Bunu çözmek için değiştirebiliriz. # Sin ^ 2x #, yani: #color (kırmızı) (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) #:

# Sin ^ 2x / cosx = (1-cos ^ 2x) / cosx #

Şimdi, payı böl.

# (1 Cos ^ 2x) / cosx = 1 / cosx Cos ^ 2x / cosx = 1 / cosx-cosx #

Karşılıklı kimliği kullan #color (kırmızı) (secx = 1 / cosx #:

1. / cosx-cosx = secx-cosx #

Cevap:

Gerçekten bu kadar basit …

Açıklama:

Kimliğini kullanarak # Tanx = sinx / cosx #, çarpın # Sinx # almak için kimlik üzerine:

# Secx-cosx = sin ^ 2x / cosx #

Ardından, çarpın # Cosx # denklemden elde etmek için:

1. Cos ^ 2x = sin ^ 2x #

Hesaba katıldığında # Secx # tersi # Cosx #.

Son olarak, trigonometrik kimliği kullanarak 1. Cos ^ 2x = sin ^ 2x #, son cevap şöyle olurdu:

# Sin ^ 2x = sin ^ 2x #