İnt [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx kısmi kesirlerle nasıl bütünleştirilir?

Cevap:

# 4LN (abs (x + 2)) + 2LN (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #

Açıklama:

Yani, önce bunu yazıyoruz:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

Ek olarak biz alırız:

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) C) / (x + 1) ^ 2 = (A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) C) #

kullanma # X = -2 # bize verir:

6. (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (1) ^ 2 #

# A = 4 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) C) #

Sonra kullanarak # X = -1 # bize verir:

6. (1) ^ 2 + 13 (-1) + 6 = C #

# C = -1 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) -1) #

Şimdi kullanarak #, X = 0 # (kullanılmamış olan herhangi bir değer kullanılabilir):

6. = 4 + 2 (B-1) #

# 2 (B-1) = 2 #

# B-1 = 1 #

# B = 2 #

# 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (2 (x + 1) -1) #

# (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) = 4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2 #

# İnt4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2DX = 4LN (abs (x + 2)) + 2LN (abs (x + 1)) + int-1 / (x + 1) ^ 2DX #

Bunu dışarıda bıraktım, böylece üzerinde çalışabiliriz.

Sahibiz # - (x + 1) ^ - 2 #. Zincir kuralı kullanmanın bize verdiğini biliyoruz. # G / dx f (x) ^ n = nf (x) ^ (n-1) f '(x)' #. Biz sadece # - (x + 1) ^ - 2 #, yani #f (x) # olmalıdır # (X + 1) ^ - 1 #

# G / dx (x + 1) ^ - 1 = - (x + 1) ^ - 2 #

# İnt4 / (x + 2) + 2 / (x + 1) -1 / (x + 1) ^ 2DX = 4LN (abs (x + 2)) + 2LN (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C #