Cevap:
# 1/4 (2cosx + sqrt17 7) (2cosx + 7-sqrt17) #
Açıklama:
İlk izin # T = cosx #.
• y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Şimdi, bunu etkilemek için kareyi tamamlayalım.
• y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Bunu not et # (T + 7/2) ^ 2 = (T + 7/2) (t + 7/2) #
# = T ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = T ^ 2 + 7t + 49/4 #
Bu yüzden eklemek istiyoruz #49/4# ifade içine ve tekrar çıkarmak.
• y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Bunu not et #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
• y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Şimdi, dikkat et # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
• y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Şimdi, kareler arasında bir fark var ve onu bir faktör olarak kabul edebiliriz.
#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
• y = (cosx + sqrt17 (7) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
İstersek, ortak bir faktör getirebiliriz: #1/2# her bölümden:
• y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Cevap:
# (cos (x) + frak {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frak {7 - sqrt (17)} {2}) #
Açıklama:
let # u = cos (x) #
Soru daha sonra olur:
faktör # U ^ 2 + 7U + 8 # Burada ikinci dereceden formül kullanabilirsiniz, yani. # u = frak {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
veya uzun yoldan yapabilirsiniz (ki bu formülden daha iyi değildir, aslında kuadratik formülü formüle etmek için kullanılan yöntemlerden biridir):
iki kök bul # r_1 # ve # r_2 # öyle ki # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Expand: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Böylece: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
ve bu nedenle: # - (r_1 + r_2) = 7 # ve # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2-2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frak {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frak {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Böylece, faktoring formu # (u + frak {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frak {7 - sqrt (17)} {2}) #
alt # u = cos (x) # almak:
# (cos (x) + frak {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frak {7 - sqrt (17)} {2}) #
