F (x) = csc ^ -1 (x) türevi nedir?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Süreci:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Öncelikle, denklemi çalışılması daha kolay bir biçimde yeniden yazacağız.

Her iki tarafın davasını alın:

2.) #csc y = x #

Sinüs cinsinden yeniden yazın:

3.) # 1 / siny = x #

İçin çözün • y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = günah y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Şimdi türev almak daha kolay olmalı. Şimdi sadece bir zincir kuralı meselesi.

Biz biliyoruz ki # d / dx arcsin alfa = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) # (burada bulunan bu kimliğin bir kanıtı var)

Öyleyse, dış fonksiyonun türevini alın, ardından türeviyle çarpın. 1. / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Türevi 1. / x # türevi ile aynı # x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Basitleştirilmiş 8. bize verir:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

İfadeyi biraz daha güzel yapmak için karesini getirebiliriz. # X ^ 2 # radikalin içinde, bu gerekli olmasa da:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Basitleştirilmiş verim:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Ve işte cevabımız. Unutmayın, ters trig fonksiyonlarını içeren türev problemleri çoğunlukla trig kimlikleri bilginiz için bir egzersizdir. Fonksiyonu ayırt etmesi kolay bir forma ayırmak için bunları kullanın.