Sıfırları -3,4 ve 2-i olan gerçek katsayılı standart formda minimum dereceli bir polinomu nasıl yazarsın?

Cevap:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # ile #aq, RR #.

Açıklama:

let # P # Bahsettiğiniz polinom olun. Farz ediyorum #P! = 0 # ya da önemsiz olurdu.

P gerçek katsayılara sahiptir, yani #P (alfa) = 0 => P (baralpha) = 0 #. P için başka bir kök olduğu anlamına gelir. #bar (2-i) = 2 + i #, bu nedenle bu form için # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * S (X) # ile NN #a_j #, RR'deki #Q X # ve #a, RR # çünkü istiyoruz # P # gerçek katsayılara sahip olmak.

Derecesini istiyoruz # P # mümkün olduğunca küçük olmak. Eğer #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # sonra #deg (P) = deg (R) + deg (Q) = toplam (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # yani #deg (Q)> = 0 #. Eğer istersek # P # mümkün olan en düşük dereceye sahip olmak #deg (Q) = 0 # (# Q # sadece gerçek bir sayı # Q #), dolayısıyla #deg (P) = deg (R) # ve burada bunu söyleyebiliriz bile #P = R #. #deg (P) # her biri mümkün olduğunca küçük olacaktır #a_j = 0 #. Yani #deg (P) = 4 #.

Şimdilik, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Bunu geliştirelim.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5), RR X #. Yani bu ifade en iyisidir # P # bu şartlarla bulabiliriz!