Soru # 69feb

Cevap:

Normal çizgi: • y = (a-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Teğet çizgisi: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Açıklama:

Sezgi için: İşlev olduğunu düşünün #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # bazı arazilerin yüksekliğini açıklar; # X # ve • y # düzlemde koordinatlar ve #ln (y) # doğal logaritma olduğu varsayılır. Sonra hepsi # (X, y) # öyle ki #f (x, y), bir # = (yükseklik) biraz sabite eşittir # Bir # seviye eğrileri denir. Bizim durumumuzda sabit yükseklik # Bir # sıfır #f (x, y) = 0 #.

Kapalı çizgilerin eşit yükseklikte çizgileri gösterdiği topografik haritalara aşina olabilirsiniz.

Şimdi gradyan #grad f (x, y) = ((kısmi f) / (kısmi x), (kısmi f) / (kısmi x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # bize bir noktada yön veriyor # (X, y) # içinde #f (x, y) # (yükseklik) en hızlıyı değiştirir. Arazimiz düz (farklılaşabilir) olduğu sürece bu ya düz ya da düzdür, tepede, altta ya da platoda (bir uç nokta) değiliz. Aslında bu, sabit yükseklikte bir eğriye normal yöndür, öyle ki # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

bu yüzden normal çizgi bu yönde geçmekte # (2, e ^ 2) # olarak tanımlanabilir

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, nerede # mathbbR içindeki #s gerçek bir parametredir. Ortadan kaldırabilirsin # s # ifade etmek • y # bir fonksiyonu olarak # X # eğer istersen bulmak

• y = (a-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Teğet yönündeki yönlü türev, #0# (yükseklik değişmediği anlamına gelir), yani teğet bir vektör # (U, v) # tatmin etmeli

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, nerede # Cdot # nokta ürün anlamına gelir. Yani # (u, v) = (1, e ^ 2) # geçerli bir seçimdir. bu yüzden Teğet çizgisi geçiyor # (2, e ^ 2) # olarak tanımlanabilir

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, # mathbbR içinde #.

İçin çözme • y # bunu verir

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Sonunda kontrol etmelisin # (2, e ^ 2) # eğri üzerinde yatıyor #f (x, y) #teğet çizgide ve normal çizgide.