Cevap:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (-1) ((3x) / 2) + c #
Açıklama:
Bu problemin anlaşılması için # 4-9x ^ 2> = 0 #, yani # -2/3 <= x <2/3 #. Bu nedenle bir seçebilirsiniz # 0 <= u <= pi # öyle ki #, X = 2 / 3cosu #. Bunu kullanarak, kullanarak x değişkenini integralde değiştirebiliriz. # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # burada onu kullanıyoruz 1. Cos ^ 2u = sin ^ 2u # ve bunun için # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Şimdi bulmak için parçaların entegrasyonunu kullanıyoruz # İntcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. bu nedenle # İntcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) '#.
Biz bulduk #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, şimdi değiştiririz # X # için geri # U #kullanarak # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, yani #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) -2 / 27cos ^ (-1) ((3x) / 2) + c #.
Bunu sinüs ve kosinüs tanımını üçgenler olarak kullanarak daha da basitleştirebiliriz. Açılı bir dik üçgen için # U # doğru olmayan köşelerden birinde, # sinu = "karşı taraf" / "en uzun taraf" #, süre # cosu = "bitişik taraf" / "en uzun taraf" #, bildiğimizden beri # Cosu = (3x) / 2 #olmak için bitişik tarafı seçebiliriz # 3x # ve olması gereken en uzun taraf #2#. Pisagor teoremini kullanarak, bunun karşı tarafını buluruz. #sqrt (4-9x ^ 2) #, yani #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. bu nedenle #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (-1) ((3x) / 2) + c #.
