Cevap:
int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (-1) ((3x) / 2) + c
Açıklama:
Bu problemin anlaşılması için 4-9x ^ 2> = 0 , yani -2/3 <= x <2/3 . Bu nedenle bir seçebilirsiniz 0 <= u <= pi öyle ki , X = 2 / 3cosu . Bunu kullanarak, kullanarak x değişkenini integralde değiştirebiliriz. Dx = -2 / 3sinudu : int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu burada onu kullanıyoruz 1. Cos ^ 2u = sin ^ 2u # ve bunun için 0 <= u <= pi sinu> = 0 .
Şimdi bulmak için parçaların entegrasyonunu kullanıyoruz İntcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu . bu nedenle İntcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) '.
Biz bulduk int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) , şimdi değiştiririz X için geri U kullanarak U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) , yani int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) -2 / 27cos ^ (-1) ((3x) / 2) + c .
Bunu sinüs ve kosinüs tanımını üçgenler olarak kullanarak daha da basitleştirebiliriz. Açılı bir dik üçgen için U doğru olmayan köşelerden birinde, sinu = "karşı taraf" / "en uzun taraf" , süre cosu = "bitişik taraf" / "en uzun taraf" , bildiğimizden beri Cosu = (3x) / 2 olmak için bitişik tarafı seçebiliriz 3x ve olması gereken en uzun taraf 2. Pisagor teoremini kullanarak, bunun karşı tarafını buluruz. sqrt (4-9x ^ 2) , yani sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) . bu nedenle int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (-1) ((3x) / 2) + c .