1 / sqrt (tanx) integrali dx =?

Cevap:

# 1 / (sqrt2) açık kahve renkli ^ 1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln (| tanx-sqrt (2tanx) + 1) / (tanx-sqrt (2tanx) 1) | + C #

Açıklama:

İle ikame ile başlıyoruz # U = sqrt (tanx) #

Türevi # U # geçerli:

# (Du) / dx = (sn ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)) #

biz de buna göre bütünleşmek için bunu bölüyoruz. # U # (ve unutmayın, bir kesir ile bölmek, karşılıklı ile çarpmakla aynıdır):

#int 1 / sqrt (tanx) dx = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx)) / sn ^ 2x du = #

# = int 2 / sn ^ 2x du #

Entegre edemediğimizden # X #ile ilgili olarak # U #, aşağıdaki kimliği kullanıyoruz:

# Sn ^ 2teta = kahve renkli ^ 2teta + 1 #

Bu verir:

#int 2 / (tan ^ 2x + 1) du = int 2 / (1 + u ^ 4) du = 2int 1 / (1 + u ^ 4) du #

Bu kalan integral oldukça sıkıcı bir kısmi kesir ayrışması kullanır, bu yüzden burada yapmayacağım. Nasıl çalıştığını merak ediyorsanız, bu cevaba bir göz atın:

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

# 2int 1 / (1 + u ^ 4) du = 2 (1 / (2sqrt2) tan ^ -1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (4sqrt2) ln | (u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) |) + C = #

# = 1 / (sqrt2) açık kahve renkli ^ 1 ((u ^ 2-1) / (sqrt2u)) - 1 / (2sqrt2) ln (| u ^ 2-sqrt2u + 1) / (u ^ 2-sqrt2u + 1) | + C #

İçin yeniden gönderme # U = sqrt (tanx) #, biz alırız:

# 1 / (sqrt2) açık kahve renkli ^ 1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln (| tanx-sqrt (2tanx) + 1) / (tanx-sqrt (2tanx) 1) | + C #

Cevap:

# = 1 / sqrt (2) açık kahve renkli ^ 1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln (| tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #

Açıklama:

# I = INT1 / sqrt (tanx) dx #

Let #sqrt (tanx) = t => tanx = t ^ 2 => ^ kez 2xdx = 2tdt #

# => (1 + tan ^ 2x) dx = 2tdt => dx = (2tdt) / (1 + (t ^ 2) ^ 2 #

#:. I = INT1 / cancelt * (2 x cancelt * dt) / (1 + T ^ 4) = int2 / (1 + T ^ 4) dt #

# = İnt (t ^ 2 + 1) / (1 + T ^ 4) dt-int (t ^ 2-1) / (1 + T ^ 4) dt = int (1 + 1 / ton ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / ton ^ 2) dt-int (1-1 / ton ^ 2) / (t ^ 2 + 1 / ton ^ 2) dt #

# = İnt (1 + 1 / ton ^ 2) / ((t-1 / ton) ^ 2 + 2) dt-int (1-1 / ton ^ 2) / ((t + 1 / ton) ^ 2- 2) dt #

Take# (T-1 / T) = uand (t + 1 / ton) = v ## => (1 + 1 / ton ^ 2) dt = duand (1-1 / ton ^ 2) dt = dv ## => I = INT1 / (u ^ 2 + (sqrt (2)) ^ 2) du-INT1 / (h ^ 2- (sqrt (2)) ^ 2) dV = 1 / sqrt (2) açık kahve renkli ^ - 1 (u / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln (| v sqrt2) / (v + sqrt2) | + c = 1 / sqrt (2) açık kahve renkli ^ 1 ((t-1 / ton) / sqrt (2)) - 1 / (2sqrt (2)) ln (| (t + 1 / ton) -sqrt2) / ((t + 1 / ton) + sqrt2) | + c ## = 1 / sqrt (2) açık kahve renkli ^ 1 ((t ^ 2-1) / (sqrt (2) t)) - 1 / (2sqrt (2)) ln (| (t ^ 2 + 1-sqrt (2) r)) / ((t ^ 2 + 1 + sqrt (2), t)) | + c #

# = 1 / sqrt (2) açık kahve renkli ^ 1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt (2)) ln (| tanx + 1-sqrt (2tanx)) / (tanx + 1 + sqrt (2tanx)) | + c #