[-1,3] aralığında f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 ekstresi nedir?

Cevap:

Adresinde bir minima var. #, X = 0 # ve bir sapma noktası #, X = 3 #

Açıklama:

Bir maksima, bir fonksiyonun yükselip tekrar düştüğü yüksek bir noktadır. Gibi teğet eğimi veya bu noktada türev değeri sıfır olacaktır.

Ayrıca, maxima'nın solundaki teğet maddeler yukarı doğru eğilecek, sonra düzleşecek ve sonra aşağı doğru eğimli olacağı için, teğetin eğimi sürekli azalacak, yani ikinci türevin değeri negatif olacaktır.

Öte yandan, bir minimum, bir fonksiyonun düştüğü ve sonra tekrar yükseldiği düşük bir noktadır. Gibi minimal teğet veya türev değeri de sıfır olacaktır.

Ancak, minima'nın solundaki teğet maddeler aşağı doğru eğilecek, sonra düzleşecek ve sonra yukarı doğru eğimli olacağı için, teğetin eğimi sürekli olarak artacaktır veya ikinci türevin değeri pozitif olacaktır.

Eğer ikinci türev sıfır ise

Bununla birlikte, bu maksima ve minima, tüm aralık boyunca evrensel yani maksimum veya minimum olabilir veya sınırlı bir aralıkta lokalize edilebilir, yani maksimum veya minimum olabilir.

Bunu, soruda açıklanan fonksiyona referansla görelim ve bunun için ilk önce ayırt edelim #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

İlk türevi, #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2 x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Bu sıfır olur # X, ^ 2-9 = 0 # veya # x = + - 3 # veya #0#. Bunlardan sadece #{0,3}# menzilde #-1,3}#.

Dolayısıyla maksima veya minima noktalarda meydana gelir. #, X = 0 # ve #, X = 3 #.

Bunun maksima mı yoksa minima mı olduğunu bulmak için, ikinci farklılığa bakalım. #f '(x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # ve dolayısıyla

en #, X = 0 #, #f '(x) = 486 # ve olumlu

en #, X = 3 #, #f '(x) = 2.430-2.916 + 486 = 0 # ve bir sapma noktasıdır.

Dolayısıyla, yerel bir minimale sahibiz. #, X = 0 # ve bir sapma noktası #, X = 3 #

. grafik {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Cevap:

Mutlak minimum #(-9)^3+10# (meydana gelir #0#), aralıktaki mutlak maksimum #10#, (meydana gelir #3#)

Açıklama:

Soru, göreceli ya da mutlak extrema bulup bulmayacağımızı belirtmiyor, bu yüzden ikisini de bulacağız.

Göreceli ekstrema yalnızca kritik sayılarda ortaya çıkabilir. Kritik sayılar # X # etki alanında olan # F # ve hangisinde #f '(x) = 0 # veya #f '(x) mevcut değil. (Fermat Teoremi)

Kapalı bir aralıkta mutlak ekstrema, aralıktaki kritik sayılarda veya aralığın en noktalarında meydana gelebilir.

Çünkü burada sorulan işlev sürekli #-1,3#Aşırı Değer Teoremi bize # F # aralıkta hem mutlak minimum hem de mutlak maksimum olmalıdır.

Kritik sayılar ve bağıl ekstrema.

İçin #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, bulduk #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Açıkça, # F '# asla var olmaz, bu yüzden bu tür kritik sayılar yoktur.

Çözme # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # çözümler sunar #-3#, #0#, ve #3#.

#-3# bu sorunun etki alanında değil, #-1,3# bu yüzden sadece kontrol etmeliyiz #f (0) # ve #f (3) #

İçin #x <0 #, sahibiz #f '(x) <0 # ve

için #x> 0 #, sahibiz #f '(x)> 0 #.

Yani, ilk türev testi ile, #f (0) # göreceli bir minimumdur. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Aralıktaki diğer kritik sayı #3#. Etki alanı kısıtlamasını yok sayarsak, onu buluruz. #f '(x)> 0 # hepsi için # X # yakın #3#. Böylece, fonksiyon içeren küçük açık aralıklarla artar. #3#. Bu nedenle, eğer durursak en #3# en yüksek noktaya ulaştık etki alanında.

Var değil evrensel olup olmadığını söylemek #f (3) 10 # = bu işlev için göreceli bir maksimum #-1,3#.

Bazıları değer gerektirir iki tarafta da daha az olması için, diğerleri etki alanındaki her iki taraftaki değerleri daha az olmasını gerektirir.

Mutlak Ekstema

Kapalı bir aralıkta mutlak ekstrema durumu # A, b # çok daha basittir.

Kritik sayıları kapalı aralıklarla bulun. Ara # c_1, c_2 # ve bunun gibi.

Değerleri hesapla #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # ve bunun gibi. En büyük değer, aralıktaki mutlak maixmum ve en düşük değer, aralıktaki mutlak minimumdur.

Bu soruda hesaplıyoruz #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # ve #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimum #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # ve

maksimum #f (-3) = 10 #.