F (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x'in ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Cevap:

Orijinde eyer noktası.

Açıklama:

Sahibiz:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Ve böylece kısmi türevleri türetiriz. Diğer değişkenleri sabit olarak ele alırken, söz konusu değişkeni farklılaştırdığımızı kısmen farklılaştırdığımızı hatırlayın. Ve bu yüzden:

# (kısmi f) / (kısmi x) = 2xy-y ^ 2 # ve # (kısmi f) / (kısmi y) = x ^ 2-2yx #

Ekstrema veya sele noktalarında:

# (kısmi f) / (kısmi x) = 0 # ve # (kısmi f) / (kısmi y) = 0 # eşzamanlı:

yani eşzamanlı bir çözüm:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Dolayısıyla orijinde sadece bir kritik nokta var. #(0,0)#. Kritik noktanın doğasını belirlemek için, çok değişkenli Taylor Serisinin analistleri ve aşağıdaki test sonuçları gerekir:

# Delta = (kısmi ^ 2 f) / (kısmi x ^ 2) (kısmi ^ 2 f) / (kısmi y ^ 2) - {(kısmi ^ 2 f) / (kısmi x kısmi y)} ^ 2 <0 => # Eyer noktası

Böylece ikinci kısmi türevleri hesaplıyoruz:

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) = 2y #;# (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) = -2x # ve # (kısmi ^ 2 f) / (kısmi x kısmi y) = 2x-2y #

Ve ne zaman # x = 0, y = 0 # Biz alırız:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Bu, standart eyer testinin kapsayıcı olduğu ve daha fazla analiz yapılması gerektiği anlamına gelir. (Bu, tipik olarak, fonksiyonun işaretlerine çeşitli dilimler arasında bakmayı veya bu sorunun kapsamı dışındaki üçüncü kısmi türev testine bakmayı içerir!).

Ayrıca 3B arsaya bakabilir ve kritik noktanın bir eyer noktasına karşılık geldiği sonucuna varabiliriz:

F (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Bizde: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) 1. Adım - Kısmi Türevleri Bulun İki ya da daha fazla bir fonksiyonun kısmi türevini hesaplıyoruz diğer değişkenler sabit olarak değerlendirilirken, bir değişkenle wrt farklılaşarak değişkenler. Böylece: İlk Türevler: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2

F (x) = 2x ^ 2 lnx'in ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Tanım alanı: f (x) = 2x ^ 2lnx, (0, + oo) içindeki x aralığıdır. Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini değerlendirin: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritik noktalar aşağıdakilerin çözümleridir: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 ve x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Bu noktada: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, böylece kritik nokta yerel minimumdur. Eyer noktaları aşağıdakilerin çözümleridir: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 ve f '&#

[-Pi, pi] 'daki x, y aralığında f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Elimizde: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = = -6sinxsin ^ 2y 1. Adım - Kısmi Türevleri Bulun Kısmi türevini hesapladık diğer değişkenler sabit olarak değerlendirilirken, bir değişkene göre wrt farklılaştırarak iki veya daha fazla değişkenli bir fonksiyon. Böylece: İlk Türevler: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y 2cos2y) = -12sinxcos2y İkinci Kısmi Çapraz Türevler şunlardır: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y f (x, y) sürekliliği nedeniyle aynıdır. Adım 2 - Kritik Noktaları Belirleyin f_x = f_y = 0 eşzamanlı çö