F (x) = 2x ^ 2 lnx'in ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Tanımı alanı:

#f (x) = 2x ^ 2lnx #

aralık #x, (0, + oo) #.

Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini değerlendirin:

# (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) #

# (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + ln #

Kritik noktalar aşağıdakilerin çözümleridir:

#f '(x) = 0 #

# 2x (1 + 2lnx) = 0 #

ve benzeri #x> 0 #:

# 1 + 2lnx = 0 #

#lnx = -1 / 2 #

#x = 1 / sqrt (e) #

Bu noktada:

#f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 #

bu yüzden kritik nokta yerel bir asgaridir.

Eyer noktaları aşağıdakilerin çözümleridir:

#f '' (x) = 0 #

# 6 + lnx = 0 #

#lnx = -6 #

# x = 1 / e ^ 6 #

ve benzeri #f '(x)' # monoton artmakta olduğunu söyleyebiliriz #f (x) # içbükey aşağı için #x <1 / e ^ 6 # ve içbükey #x> 1 / e ^ 6 #

grafik {2x ^ 2lnx -0.2943, 0.9557, -0.4625, 0.1625}