X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 bir kök x = sqrt (2) + sqrt (3) değerine sahiptir. Diğer üç kök nedir ve neden?

Cevap:

Diğer üç kök #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # ve #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Neden olarak, size bir hikaye anlatayım …

Açıklama:

Bay Rational, Cebir kasabasında yaşıyor.

Formun bütün numaralarını biliyor # M / n # nerede # M # ve # N # tamsayılar ve #n! = 0 #.

O gibi polinomları çözme oldukça mutlu # 3x + 8 = 0 # ve # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, ama onu bulmaca yapan birçok kişi var.

Hatta görünüşe göre basit bir polinom gibi # X, ^ 2-2 = 0 # yetersiz görünüyor.

Zengin komşusu Bay Real, ona acıyor. "İhtiyacınız olan şey kare kök denilen şey #2#. İşte başlıyorsunuz. ”. Bu kelimelerle, Bay Real, isminde gizemli, parlak mavi bir rakamı elden geçirir. # R_2 # Bay Rational’a. Bu numara hakkında tek söylenen bu # R_2 ^ 2 = 2 #.

Bay Rational öğrenimine geri döndü ve bu gizemli ile oynadı # R_2 #.

Bir süre sonra formun sayılarını toplayabildiğini, çıkarabildiğini, çarpabileceğini ve bölebildiğini fark etti. # a + b R_2 # nerede # Bir # ve # B # rasyoneldir ve aynı formdaki sayılarla sona erer. O da fark eder ki # X, ^ 2-2 = 0 # yani başka bir çözümü var # -R_2 #.

O şimdi sadece çözmek mümkün değil # X, ^ 2-2 = 0 #, fakat # X, ^ 2 + 2x-1 = 0 # Ve bircok digerleri.

Diğer birçok polinom hala çözümden kaçınıyor. Örneğin, # X, ^ 2-3 = 0 #ama Bay Real ona parlak yeşil bir numara vermekten mutluluk duyar # R_3 # Bu bir çözer.

Bay Rational kısa sürede yapabileceği tüm sayıları ifade edebileceğini tespit etti. # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, nerede # Bir #, # B #, # C # ve # D # rasyonel.

Bir gün Bay Rational’ın çözme kararı var. # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. O bulur # X = R_2 + R_3 # bir çözümdür.

Daha fazla çözüm aramadan önce, komşusu Bay Real'e çarptı. Bay Real'e hediye için teşekkür etti. # R_2 # ve # R_3 #, ama onlar hakkında bir sorgu var. "Sormayı unuttum:" diyor, "Olumlu mu, olumsuz mu?" Real, "Önemseyeceğini düşünmedim." Dedi. “Rasyonel katsayılı polinomları çözdüğünüz sürece, bu gerçekten önemli değil. Yeni sayılarınızı toplama, çıkarma, çarpma ve bölme için bulduğunuz kurallar da her ikisi ile de aynı şekilde çalışır. denilen # R_2 # çoğu insan ne diyor # -Sqrt (2) # ve aradığın # R_3 # çoğu insan ne diyor #sqrt (3) #'.

Bay Rational’ın yeni form numaraları için # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # önemli değil # R_2 # ve / veya # R_3 # rasyonel katsayılı polinomları çözme açısından olumlu veya olumsuzdur.