Üstel sınıfın İşlevsel Sürekli Fraksiyonu (FCF), a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) ile tanımlanır. , a> 0 a a = e = 2.718281828 .. ayarlandıktan sonra, e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, neredeyse?

Cevap:

Açıklamaya bakınız …

Açıklama:

let #t = a_ (cf) (x; b) #

Sonra:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …))))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Diğer bir deyişle, # T # eşlemenin sabit bir noktasıdır:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Tek başına # T # sabit bir nokta olmak #F (t), # kanıtlamak için yeterli değil #t = a_ (cf) (x; b) #. Kararsız ve sabit sabit noktalar olabilir.

Örneğin, #2016^(1/2016)# sabit bir nokta #x -> x ^ x #, ama bir çözüm değil # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = = 2016 (Çözümü yok).

Ancak, düşünelim #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # ve #t = 1.880789470 #

Sonra:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0,1 + 1 / 1,880789470) #

# ~~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = E ^,6316916199 #

# ~~ 1.880789471 # ~ t #

Yani bu değer # T # sabit bir noktaya çok yakın #F_ (a, b, x) #

Kararlı olduğunu kanıtlamak için yakın türev düşünün # T #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

Yani buluyoruz:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

Bu negatif ve mutlak değerden daha düşük olduğundan #1#, sabit noktada # T # Istikrarlı.

Ayrıca sıfır olmayan herhangi bir Gerçek değerinin # s # sahibiz:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

Yani #F_ (e, 1,0.1) (ler) # kesinlikle monoton bir şekilde azalıyor.

bundan dolayı # T # benzersiz sabit sabit nokta.

Cevap:

Büzülme davranışı.

Açıklama:

İle #a = e # ve #x = x_0 # yineleme şöyle

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # ve ayrıca

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Yineleme operatöründe bir daralma koşullarını araştıralım.

İki tarafın çıkarılması

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

ancak ilk yaklaşımda

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

veya

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} yaklaşık -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-Y_ {k-1}) #

Bir daralma olması için ihtiyacımız olan

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Bu elde edilirse

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Diyelim #b> 0 # ve #k = 1 # sahibiz.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Verilen # X_0 # ve # B # bu ilişki büzülme davranışı altında ilk yinelemeyi bulmamızı sağlar.