Kübik ve kuartik denklemleri çözmek için en hızlı ve en kolay yöntem nedir (polinom hesaplayıcısı olmadan)?

Cevap:

Değişir…

Açıklama:

Kübik veya kuartik (veya bu konuda herhangi bir derece polinom) rasyonel köklere sahipse, rasyonel kök teoremi onları bulmanın en hızlı yolu olabilir.

Descartes'ın İşaret Kuralı ayrıca bir polinom denkleminin pozitif mi yoksa negatif kökler mi olduğunu belirlemeye yardımcı olabilir, bu nedenle aramayı daraltmaya yardımcı olur.

Bir kübik denklem için, ayırıcıyı değerlendirmek faydalı olabilir:

#Delta = b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-4b ^ 3d-27a ^ 2d ^ 2 + 18abcd #

• Eğer #Delta = 0 # sonra kübik tekrarlanan bir kök vardır.

• Eğer #Delta <0 # sonra kübik bir gerçek kök ve iki gerçek olmayan karmaşık kök vardır.

• Eğer #Delta> 0 # sonra kübik üç gerçek kök var.

Eğer #Delta = 0 # daha sonra kübik türevi ile bir faktörü paylaşır, bu nedenle polinom GCF'sini hesaplayarak ortak faktörlerini bulabilmelisiniz.

Aksi takdirde, bir türetmek için bir Tschirnhaus dönüşümü kullanmak muhtemelen faydalı olacaktır. depresif kübik ilerlemeden önce herhangi bir kare terim olmadan.

Bir kübik bir gerçek kök ve iki gerçek olmayan kuşak varsa, o zaman Cardana'nın yöntemini öneririm.

Üç gerçek kök varsa o zaman bunun yerine trigonometrik bir ikame kullanılmasını tavsiye ederim.

Quartics için, bir sübstitüsyon ile küp terimsiz depresyonda bir quartik alabilirsiniz. #t = x + b / (4a) #.

Elde edilen kuartik de doğrusal bir terime sahip değilse, o zaman ikinci dereceden # X ^ 2 #. Bunu ikinci dereceden olarak çözebilir ve karekök alabilir ya da formun çarpanlarını kullanabilirsiniz:

# (x ^ 2-balta + b) (x ^ 2 + balta + b) = x ^ 4 + (2b-a ^ 2) x ^ 2 + b ^ 2 #

Bundan çözmek için ikinci dereceden faktörleri bulabilirsiniz.

Elde edilen kuartik doğrusal bir terime sahipse, aşağıdaki şekilde faktoring yapılabilir:

# (x ^ 2-ax + b) (x ^ 2 + ax + c) = x ^ 4 + (b + c-a ^ 2) x ^ 2 + a (b-c) x + bc #

Katsayıların eşitlenmesi ve kullanılması # (b + c) ^ 2 = (b-c) ^ 2 + 4bc #, bir küp türetebilirsiniz # Bir ^ 2 #. Bu nedenle, olası değerleri bulabilirsiniz. # Bir #, # B # ve # C #. Sonra ikinci dereceden faktörlerin sıfırlarını bulun.

Başka özel durumlar da var, ama bu kabaca onu kapsıyor.