(Ln (xe ^ x)) / x integrali nedir?

Cevap:

# İnt # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Açıklama:

Verildi:

# İnt # #ln (Xe ^ x) / (x) dx #

kullanma #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = İnt # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

kullanma #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = İnt # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

kullanma #ln (e) = 1 #:

# = İnt # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Kesir bölme (# x / x = 1 #):

# = İnt # # (ln (x) / x + 1) dx #

Toplanan integrallerin ayrılması:

# = İnt # #ln (x) / xdx + int dx #

İkinci integral basit #x + C #, nerede # C # isteğe bağlı bir sabittir. İlk integrali kullanıyoruz # U #-ikame:

let #u equiv ln (x) #, dolayısıyla #du = 1 / x dx #

kullanma # U #-ikame:

# = int udu + x + C #

Bütünleştirme (keyfi sabit # C # ilk belirsiz integralin keyfi sabitini soğurabilir:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Açısından geri değiştirme # X #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Cevap:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Açıklama:

Aşağıdaki logaritma kimliğini kullanarak başlıyoruz:

#ln (ab) '= İn (a) + ln (b)' #

Bunu integrale uygulayarak şunu elde ederiz:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Kalan integrali değerlendirmek için, entegrasyonu bölümlere göre kullanırız:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

izin vereceğim #f (x) = İn (x) # ve #g '(x) = 1 / x #. Daha sonra şunu hesaplayabiliriz:

#f '(x) = 1 / x # ve #g (x) = İn (x) #

Daha sonra entegrasyonu parça formülüne göre uygulayabiliriz:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Eşittir işaretinin her iki tarafında da integral bulunduğundan, onu bir denklem gibi çözebiliriz:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Asıl ifadeye geri dönersek, son cevabımızı alırız:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #