Entegre lnx / 10 ^ x?

Cevap:

hata

Açıklama:

#int (LNX) / 10 ^ Xdx # olarak da yazılabilir #int (LNX) xx10 ^ (- x) dx #.

Şimdi formülü ürünün integrali için kullanabiliriz.

# Intu * v * dx = u * v-int (v * du) #, nerede # U = # LNX

Gibi biz var # Du = (1 / X) dx # ve bırak # Dv = x ^ (- 10) dx # veya # V = x ^ (- 9) / - 9 #

Bu nedenle, # Intu * v * dx = (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) -INT (x ^ (- 9) / - 9) * DX / x #veya

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) INTX ^ (- 10) * DX #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) + (1/9) X ^ (- 9) / (- 9) + c #

= # (- 1/9) lnx.x ^ (- 9) - (1/81) x ^ (- 9) + c #

= # -1/81 (x ^ (- 9)) (9lnx + 1) C #

Cevap:

Bana sonsuz bir seri gibi görünüyor.

Açıklama:

İki fonksiyonlu ürünün integrali için formülü kullanabiliriz. #u (x) ve v (x) #

# intucdotdv = ucdotv-int vcdotdu #

(kural, ürün farklılaştırma kuralını bütünleştirerek kolayca elde edilebilir)

Verilen integral #intln (x) // 10 ^ xcdotdx # olarak yazılabilir

#intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx #

let # u = ln (x) ve dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

ilk varsayımdan # du = 1 / x cdotdx #

ikinci eşitlikten # v = int 10 ^ -x cdot dx = -1 / ln 10 10 ^ -x + C #

Alırız #intln (x) xx10 ^ (- x) cdotdx = ln (x) cdot (-1 / ln1010 ^ -x + C) -int (-1 / ln1010 ^ -x + C) cdot 1 / xcdot dx #

Nerede # C # bir entegrasyon sabitidir.

# = ln (x) cdot (-1 / ln1010 ^ -x + C) + int1 / ln1010 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-intCcdot 1 / xcdot dx #

# = ln (x) cdot (-1 / ln1010 ^ -x + C) + int1 / ln1010 ^ -xcdot 1 / xcdot dx-Ccdot ln | x | + C_2, #basitleştirilmesi

# = ln (x) cdot (-1 / ln1010 ^ -x) + 1 / ln10 int 10 ^ -xcdot 1 / xcdot dx + C_2 #

İntegral bulmak için azaltır # intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx #

Yine yukarıdaki integral parça formülü kullanılarak

let # U = x ^ -1 # ve # dv = 10 ^ (- x) cdot dx #

# du = -x ^ -2cdot dx # ve biz zaten değeri var # V #

# intx ^ -1cdot 10 ^ -xcdot dx = x ^ -1cdot (-1 / ln1010 ^ -x + C) -int (-1 / ln1010 ^ -x + C) cdot (-x ^ -2cdot dx) #

1. Muayene bulduğu ortaya çıkıyor #int 10 ^ -xcdot x ^ -2cdot dx # ve bunun gibi.
2. fonksiyon #ln (x) # sadece # x> 0 #
3. İntegral sonsuz seri integral gibi görünüyor.

Cevap:

# (lny) (in (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln (ln_10 y) -1) #

Sonra koymak 10. ^ x # için #y #

# (ln 10 ^ x) (ln (ln_10 10 ^ x) -ln10 ^ x #

Açıklama:

let • y = 10 ^ x #

# LNY = LN10 ^ x #

# LNY = x * LN10 #

# x = lny / ln10 = ln_10y = log_10exxlog_e y #

#:. dx = log_10exx1 / yxxdy #

#int (ln (ln_10 y)) / yxxlog_10exx1 / yxxdy #

# = int (ln (ln_10 y)) / y ^ 2xxlog_10exxdy; u = ln (ln_10 y) = ln (1 / ln10 * lny), dv = 1 / y #

# du = 1 / (ln / ln10) * 1 / (yln10) = (ln10 / lny) (1 / (yln10)) = 1 / (ylny) #

# V = LNY #

# uv-intvdu -> (ln (ln_10 y)) lny-intlny * 1 / (ylny) #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - int1 / y #

# (lny) (ln (ln_10 y)) - lny = (lny) (ln_10 y-1) #

Sonra koymak 10. ^ x # için #y #

#ln 10 ^ x (1 (ln_10 10 ^ x) -ln 10 ^ x #

#KANIT:#

# d / dy ((lny) (1 (ln_10 y) -1)) #

# f = lny, g = ln (ln_10 y) -1) #

# f '= 1 / y, g' = (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) #

# Fg '+ gf' #---> ürün kuralı

# lny * (1 / ln_10y) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (1 / (lny / ln10)) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# lny (ln10 / lny) (1 / (yln10)) + (ln (ln_10y) -1) * 1 / y #

# 1 / y + (ln (ln_10 y) -1) / y #

# ((1 + 1 (ln_10 y) -1)) / y #

# (Ln (ln_10y)) / y #

#ln (x) / 10 ^ x #---># ln_10 y = x # yukardan