Binom serisini sqrt (z ^ 2-1) 'yi genişletmek için nasıl kullanıyorsunuz?

Cevap:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + … #

Açıklama:

Çifte kontrol yapmak isterdim çünkü bir fizik öğrencisi olarak nadiren ötesine geçiyorum # (1 + x) ^ n ~ 1 1 + nx # küçük x için bu yüzden biraz paslıyım. Binom serisi, bunu ifade eden binom teoreminin özel bir halidir.

# (1 + x) ^ n = toplam_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

İle # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Sahip olduğumuz şey # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, bu doğru form değil. Bunu düzeltmek için şunu hatırlayın: # i ^ 2 = -1 # Böylece sahibiz:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Bu şimdi ile doğru biçimde #x = -z ^ 2 #

Bu nedenle, genişleme olacaktır:

# i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2-1 / 8z ^ 4-1 / 16z ^ 6 + … #

Binom serisini genişletmek için nasıl kullanırsınız (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 için binom seri açılımı: (a + bx) ^ n = toplam_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Yani, biz: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Binom serisini sqrt (1 + x) 'u genişletmek için nasıl kullanıyorsunuz?

Sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = sum (1 // 2) _k / (k!) x ^ k, CC'de x ile Binom formülünün genellemesini karmaşık sayılar için kullanın. Binom formülünün kompleks sayılara genelleştirilmesi vardır. Genel binom dizisi formülü (1 + z) ^ r = toplam ((r) _k) / (k!) Z ^ k (r) _k = r (r-1) (r-2) olarak görünmektedir. (r-k + 1) (Wikipedia'ya göre). İfadene uygulayalım. Bu bir güç serisidir, açıkçası, bunun ayrılmaması ihtimaline sahip olmak istiyorsak, absx <1 ayarlamamız gerekir ve bu, binom serisiyle sqrt (1 + x) 'i genişletme şeklin

Binom Teoremini (x-5) ^ 5 genişletmek için nasıl kullanıyorsunuz?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = toplam_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) a ^ (nr) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) a ^ (nr) (bx) ^ r (-5+ x) ^ 5 = toplam_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (- 5) ^ (5-r) x ^ r (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0 (5-0)!) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1 (5-1)!) (- 5) ^ ( 5-1) x ^ 1 + (5) / (2 (5-2!))! (! -! 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5) / (3 (5-3) !) (- 5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5) / (4 (5-4!)) (-! 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5) / (5! (5-5)!) (- 5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1 4!!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2 3!!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / ((3 2