Binom serisini sqrt (1 + x) 'u genişletmek için nasıl kullanıyorsunuz?

Cevap:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = toplam (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # ile #x, CC #

Binom formülünün genelleştirmesini karmaşık sayılar için kullanın.

Açıklama:

Binom formülünün kompleks sayılara genelleştirilmesi vardır.

Genel binom serisi formülü gibi görünüyor # (1 + z) ^ r = toplam ((r) _k) / (k!) Z ^ k # ile # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r + k + l) # (Wikipedia'ya göre). İfadene uygulayalım.

Bu, bir güç serisidir, açıkça, eğer ayrılmaması ihtimaline sahip olmak istiyorsak, buna ihtiyacımız var. #absx <1 # ve bu şekilde genişletiyorsunuz #sqrt (1 + x) # binom serileriyle.

Formülün doğru olduğunu göstermeyeceğim, ama çok zor değil, sadece tanımladığınız karmaşık fonksiyonun # (1 + z) ^ r # birim diskte holomorfiktir, her türevini 0'da hesaplar ve bu size fonksiyonun Taylor formülünü verir, bu birim diskte bir güç serisi olarak geliştirebileceğiniz anlamına gelir; #absz <1 #, bu nedenle sonuç.

Binom serisini genişletmek için nasıl kullanırsınız (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 için binom seri açılımı: (a + bx) ^ n = toplam_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Yani, biz: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Binom Teoremini (x-5) ^ 5 genişletmek için nasıl kullanıyorsunuz?

(-5 + x) ^ 5 = -3125 + 3125x -1250x ^ 2 + 250x ^ 3-25x ^ 4 + x ^ 5 (a + bx) ^ n = toplam_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) a ^ (nr) (bx) ^ r = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) a ^ (nr) (bx) ^ r (-5+ x) ^ 5 = toplam_ (r = 0) ^ 5 (5!) / (r! (5-r)!) (- 5) ^ (5-r) x ^ r (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0 (5-0)!) (- 5) ^ (5-0) x ^ 0 + (5!) / (1 (5-1)!) (- 5) ^ ( 5-1) x ^ 1 + (5) / (2 (5-2!))! (! -! 5) ^ (5-2) x ^ 2 + (5) / (3 (5-3) !) (- 5) ^ (5-3) x ^ 3 + (5) / (4 (5-4!)) (-! 5) ^ (5-4) x ^ 4 + (5) / (5! (5-5)!) (- 5) ^ (5-5) x ^ 5 (-5 + x) ^ 5 = (5!) / (0! 5!) (- 5) ^ 5 + (5!) / (1 4!!) (- 5) ^ 4x + (5!) / (2 3!!) (- 5) ^ 3x ^ 2 + (5!) / ((3 2

Binom serisini sqrt (z ^ 2-1) 'yi genişletmek için nasıl kullanıyorsunuz?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Çifte kontrol yapmak isterdim çünkü fizik öğrencisi olarak nadiren küçük x için (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx ötesi biraz paslıyım. Binom serisi, (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k ile ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Elimizdeki (z ^ 2-1) ^ (1/2) , bu doğru form değil. Bunu düzeltmek için, şunu hatırlayın: i ^ 2 = -1, böylece şunu yapın: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) Bu şimdi x = -z ^ 2 ile doğru formda, bu nedenle genişleme şöyle olacaktır: i [1