X sonsuzluğa yaklaştıkça (ln x) ^ (1 / x) sınırını nasıl buluyorsunuz?

Cevap:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

Açıklama:

Değişken üslerle uğraşırken oldukça yaygın bir numara ile başlıyoruz. Bir şeyin doğal günlüğünü alıp, ters işlem olduğu için değerini değiştirmeden üstel fonksiyonun üssü olarak yükseltebiliriz - ancak günlüklerin kurallarını faydalı bir şekilde kullanmamızı sağlar.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ ^ (1 / x))) #

Logların üs kuralını kullanarak:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

Farklılıklar gösteren üs olduğuna dikkat edin. # Xrarroo # böylece odaklanıp üstel işlevi dışarıya taşıyabiliriz:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

Doğal log fonksiyonunun davranışına bakarsanız, x'in sonsuzluğa eğilimi gösterdiğinden, fonksiyonun değerinin de çok yavaş da olsa sonsuzluğa meyilli olduğunu fark edeceksiniz. Ne zaman alırız #ln (ln (x)) # log fonksiyonunun içinde çok yavaş bir şekilde sonsuzluğa eğilimli olan bir değişkenimiz var, bu da son derece yavaş bir şekilde sonsuzluğa eğilim gösteren genel bir fonksiyona sahip olduğumuz anlamına geliyor. Aşağıdaki grafik yalnızca en çok # X = 1000 # ama son derece yavaş büyümesini göstermektedir #ln (ln (x)) # yavaş büyümesine kıyasla bile #ln (x) #.

Bu davranıştan, bunun çıkarımını yapabiliriz. # X # çok daha hızlı asimptotik büyüme sergileyecek ve üs sınırının bu nedenle sıfır olacağını gösterecektir. #color (blue) ("Bu, genel sınırın = 1 olduğu anlamına gelir.") #

Bu noktayı L'hopital'in kuralıyla da çözebiliriz. Sınırın belirsiz formda olması gerekiyor, yani # 0/0 veya oo / oo # bu yüzden durumun böyle olup olmadığını kontrol ediyoruz:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

Bu gerçekten böyledir, bu yüzden sınır olur:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((d / (dx) (ln (ln (x)))) / (d / (dx) x))) #

Ayırt etmek #y = ln (ln (x)) # tanıdık var #y (u (x)) # ve zincir kuralını kullanın

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) (du) / (dx) = 1 / x # anlamına gelir

#y = ln (u) (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) # anlamına gelir

(bundan önce (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

Türevi # X # olduğu #1#. Sınır olur:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x))))) #

Paydadaki her iki fonksiyonun da sonsuz olma eğiliminde olduğunu belirledik, #exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #