(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Haydi yapalım ???

Cevap:

#a = 1, b = 1 #

Açıklama:

Geleneksel yoldan çözme

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 arr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Şimdi için çözme # Bir #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # fakat # Bir # gerçek olması gerekir ki durum

# 2 b - b ^ 2-1 ve 0 # veya # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

şimdi yerine koymak ve çözmek # Bir #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # ve çözüm

#a = 1, b = 1 #

Aynısını yapmanın başka bir yolu

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 arr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

fakat

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

ve sonuç

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Cevap:

D. Tam olarak bir çözüm çifti var # (a, b) = (1, 1) #

Açıklama:

Verilen:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Bunu genelleştirerek güzel bir simetrik homojen problem haline getirebileceğimizi unutmayın:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

sonra ayarla # C = 1 # sonunda.

Bu genelleştirilmiş sorunun her iki tarafını da genişleterek, şunları yaptık:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Sol tarafını her iki taraftan da çıkartarak, şunları elde ederiz:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (beyaz) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (white) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Gerçek değerler için # Bir #, # B # ve # C #, bu yalnızca tümü bekleyebilir #, (A-b) '#, #(milattan önce)# ve #(CA)# sıfır ve dolayısıyla:

#a = b = c #

Sonra koyarak # C = 1 # asıl sorunun tek çözümünü buluyoruz, yani # (a, b) = (1, 1) #