F'nin mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini verilen aralıkta nasıl buluyorsunuz: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2), [-1, 5] 'de?

Cevap:

Gerek. aşırı değerler # -25 / 2 ve 25/2 #.

Açıklama:

İkame kullanıyoruz # t = 5 sinks, t -1,5 t.

Bu ikamenin izin verilebilir olduğunu gözlemleyin, çünkü

-1,5 içindeki # t, rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, aralığı olarak iyi olan #günah# eğlence. olduğu #-1,1#.

Şimdi, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Dan beri, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Bu nedenle, gerekli. ekstremiteler # -25 / 2 ve 25/2 #.

Cevap:

Fonksiyonun monotonluğunu türev işaretinden bulun ve hangi yerel maksimum / minimum değerlerin en büyük, en küçük olduğuna karar verin.

Mutlak maksimum:

#f (3.536) = 12.5 #

Mutlak minimum:

#f (-1) = - 4,899 #

Açıklama:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Fonksiyonun türevi:

#f (t) = sqrt (25-t ^ 2) + T * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2) '#

#f (t) = sqrt (25-t ^ 2) + T * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f (t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / SQRT (25-t ^ 2) #

#f (t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / SQRT (25-t ^ 2) -t ^ 2 / SQRT (25-t ^ 2) #

#f (t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f (t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f (t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) # =

#f (t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + T)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Payın iki çözümü vardır:

  # T_1 = sqrt (12.5) 3.536 # =

  # T_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Bu nedenle, pay:

  İçin negatif #t, (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  İçin olumlu # (-3.536,3.536) numarasına #

• Payda her zaman olumlu # RR #, çünkü karekök.

  Son olarak, verilen aralık #-1,5#

Bu nedenle, fonksiyonun türevi:

- için negatif #t, -1,3.536) #

- için olumlu # (3,536,5) numaraya #

Bu, grafik ilk önce yukarı gittiği anlamına gelir #f (-1) # için #f (3,536) # ve sonra iner #f (5) #. Bu yapar #f (3,536) # mutlak maksimum ve en büyük değer #f (-1) # ve #f (5) # mutlak minimumdur.

Mutlak maksimum #f (3,536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3,536 ^ 2) = 12.5 #

Mutlak maksimum için:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Bu nedenle, #f (-1) = - 4,899 # mutlak minimumdur.

Aşağıdaki grafikten bunun doğru olduğunu görebilirsiniz. Sadece kalan alanı yoksay #-1# etki alanı dışında olduğundan:

grafik {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}