F (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Cevap:

# {: ("Kritik Nokta", "Sonuç"), ((0,0,0), "eyer"):} #

Açıklama:

Ekstremitesini belirleme teorisi # Z = (x, y) f # geçerli:

1. Kritik denklemleri aynı anda çözün

   # (kısmi f) / (kısmi x) = (kısmi f) / (kısmi y) = 0 # # (yani # F_x = f_y = 0 #)

2. Değerlendirmek #f_ (x x), f_ (yy) ve f_ (xy) (= f_ (yx)) # Bu kritik noktaların her birinde. Dolayısıyla değerlendirin # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # bu noktaların her birinde
3. Ekstrematın doğasını belirleme;

   # {: (Delta> 0, "Minimum" f_ (xx) <0), (, "ve" f_ (yy)> 0 "olduğunda maksimum, (Delta <0," bir eyer noktası ")), (Delta = 0, "Daha fazla analiz gerekli"):} #

Böylece sahibiz:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

İlk kısmi türevleri bulalım:

# (kısmi f) / (kısmi x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = siz ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (kısmi f) / (kısmi y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Yani kritik denklemlerimiz:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Bu denklemlerden elimizde:

# y = 0 # veya # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # veya # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Ve tek eşzamanlı çözüm # X = y = 0 #

Ve böylece biz bir başlangıç noktasında kritik nokta

Öyleyse, şimdi ikinci kısmi türevlere bakalım, böylece kritik noktanın doğasını belirleyebiliriz (bu sonuçları alıntılayacağım):

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (kısmi ^ 2f) / (kısmi y kısmi x)) #

Ve biz hesaplamalıyız:

# Delta = (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) - ((kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y)) ^ 2 #

Her kritik noktada. İkinci kısmi türev değerleri, #Delta#ve sonuç aşağıdaki gibidir:

# {: ("Kritik Nokta", (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2), (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2), (kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y), Delta, "Sonuç"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "dahil"):} #

Tüm bu çalışmalardan sonra, kapsamlı bir sonuç elde etmek oldukça hayal kırıklığı yaratıyor, ancak kritik nokta etrafındaki davranışı incelersek, bunun bir eyer noktası olduğunu kolayca belirleyebiliriz.

3B arsaya bakarsak bu kritik noktaları görebiliriz: