F (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Cevap:

# {: ("Kritik Nokta", "Sonuç"), ((0,0,0), "eyer"):} #

Açıklama:

Ekstremitesini belirleme teorisi # Z = (x, y) f # geçerli:

Kritik denklemleri aynı anda çözün

# (kısmi f) / (kısmi x) = (kısmi f) / (kısmi y) = 0 # # (yani # F_x = f_y = 0 #)
Değerlendirmek #f_ (x x), f_ (yy) ve f_ (xy) (= f_ (yx)) # Bu kritik noktaların her birinde. Dolayısıyla değerlendirin # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # bu noktaların her birinde
Ekstrematın doğasını belirleme;

# {: (Delta> 0, "Minimum" f_ (xx) <0), (, "ve" f_ (yy)> 0 "olduğunda maksimum, (Delta <0," bir eyer noktası ")), (Delta = 0, "Daha fazla analiz gerekli"):} #

Böylece sahibiz:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

İlk kısmi türevleri bulalım:

# (kısmi f) / (kısmi x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = siz ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (kısmi f) / (kısmi y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Yani kritik denklemlerimiz:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Bu denklemlerden elimizde:

# y = 0 # veya # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # veya # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Ve tek eşzamanlı çözüm # X = y = 0 #

Ve böylece biz bir başlangıç noktasında kritik nokta

Öyleyse, şimdi ikinci kısmi türevlere bakalım, böylece kritik noktanın doğasını belirleyebiliriz (bu sonuçları alıntılayacağım):

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (kısmi ^ 2f) / (kısmi y kısmi x)) #

Ve biz hesaplamalıyız:

# Delta = (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2) (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2) - ((kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y)) ^ 2 #

Her kritik noktada. İkinci kısmi türev değerleri, #Delta#ve sonuç aşağıdaki gibidir:

# {: ("Kritik Nokta", (kısmi ^ 2f) / (kısmi x ^ 2), (kısmi ^ 2f) / (kısmi y ^ 2), (kısmi ^ 2f) / (kısmi x kısmi y), Delta, "Sonuç"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "dahil"):} #

Tüm bu çalışmalardan sonra, kapsamlı bir sonuç elde etmek oldukça hayal kırıklığı yaratıyor, ancak kritik nokta etrafındaki davranışı incelersek, bunun bir eyer noktası olduğunu kolayca belirleyebiliriz.

3B arsaya bakarsak bu kritik noktaları görebiliriz:

F (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Bizde: f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) 1. Adım - Kısmi Türevleri Bulun İki ya da daha fazla bir fonksiyonun kısmi türevini hesaplıyoruz diğer değişkenler sabit olarak değerlendirilirken, bir değişkenle wrt farklılaşarak değişkenler. Böylece: İlk Türevler: f_x = {(x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (2 (x + y + 1)) - - ((x + y + 1) ^ 2) (2x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) (x + y + 1) - 2x (x + y + 1) ^ 2} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 f_y = { (x ^ 2

F (x) = 2x ^ 2 lnx'in ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Tanım alanı: f (x) = 2x ^ 2lnx, (0, + oo) içindeki x aralığıdır. Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini değerlendirin: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritik noktalar aşağıdakilerin çözümleridir: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 ve x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Bu noktada: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, böylece kritik nokta yerel minimumdur. Eyer noktaları aşağıdakilerin çözümleridir: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 ve f '&#

[-Pi, pi] 'daki x, y aralığında f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) ekstrema ve eyer noktaları nelerdir?

Elimizde: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = = -6sinxsin ^ 2y 1. Adım - Kısmi Türevleri Bulun Kısmi türevini hesapladık diğer değişkenler sabit olarak değerlendirilirken, bir değişkene göre wrt farklılaştırarak iki veya daha fazla değişkenli bir fonksiyon. Böylece: İlk Türevler: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y 2cos2y) = -12sinxcos2y İkinci Kısmi Çapraz Türevler şunlardır: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y f (x, y) sürekliliği nedeniyle aynıdır. Adım 2 - Kritik Noktaları Belirleyin f_x = f_y = 0 eşzamanlı çö