E ^ x / ([x] +1), x> 0 ve nerede [x] en büyük tamsayıyı gösterir?

Cevap:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Açıklama:

Farz ediyorum # X # en küçük tam sayı # X #. Aşağıdaki cevapta, gösterimi kullanacağız #ceil (x) #, tavan işlevi denir.

let #f (x) = e ^ x / (tavan (x) +1) #. Dan beri # X # kesinlikle #0#, bunun anlamı # F # olduğu # (0, + oo) '#.

Gibi # x> 0 #, #ceil (x)> 1 # dan beri # E ^ x # her zaman olumlu # F # her zaman kesinlikle #0# etki alanında. Şunu vurgulamakta yarar var # F # olduğu değil Enjektif ve ayrıca doğal sayılarla sürekli değildir. Bunu kanıtlamak için # N # doğal bir numara olun:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Çünkü # x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1) #

Benzer şekilde, #ceil (x) = n #.

#L_n = e ^ n / (n + 1) #

Sol ve sağ taraf sınırları eşit olmadığı için, # F # tam sayılarda sürekli değildir. Ayrıca, #L> R # hepsi için # NN'de #.

Gibi # F # pozitif tamsayılarla sınırlanan aralıklarla artıyorsa, aralık başına "en küçük değerler" # X # alt sınır sağdan yaklaşır.

Dolayısıyla, asgari değer # F # olacak

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (tavan (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Bu, aralığın alt sınırıdır. # F #.

Bunu söylemek gerçekten doğru olmasa da # F # artıyor, anlamda, asimptotik olarak, sonsuzluğa yaklaşıyor - aşağıda kanıtlandığı gibi:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (tavan (x) +1) #

Gibi #ceilx> = x #var bir #delta <1 # öyle ki # Ceilx = x + ö #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

let #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) #

# E ^ u # üssel olarak artar # U # Doğrusal yapar, anlamı

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Bu nedenle aralığı # F # olduğu

# "Aralık" = (1/2, oo) #

Aralık solda açık çünkü #http: // 2 # hala #f (0) #, ve benzeri # X # yaklaşımlar #0^+#, #f (x) # sadece yaklaşımlar #http: // 2 #; asla gerçekten eşit değildir.