Y = x ^ 2 - 1 ve y = 0 eğrilerinin çevrelediği bölgenin hacmini x = 5 çizgisi etrafında döndürürken nasıl bulursunuz?

Cevap:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + / 3 1) #

Açıklama:

Bu hacmi hesaplamak için bir anlamda onu (sonsuz ince) dilimler halinde keseceğiz.

Bölgeyi öngörüyoruz, bu konuda bize yardımcı olmak için, bölgenin eğrinin altındaki kısım olduğu grafiği ekledim. Biz notu • y = x ^ 2-1 # çizgiyi geçiyor #, X = 5 # nerede • y = 24 # ve çizgiyi geçtiği • y = 0 # nerede #, X = 1 # grafik {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Bu bölgeyi yükseklikte yatay dilimlerde keserken # Dy # (çok küçük bir yükseklik). Bu dilimlerin uzunluğu y koordinatına büyük ölçüde bağlıdır. bu uzunluğu hesaplamak için bir noktadan mesafeyi bilmemiz gerekir # (Y, x) # çizgide • y = x ^ 2-1 # noktaya (5, y). Tabii ki bu # 5-x #, ama nasıl bağlı olduğunu bilmek istiyoruz. • y #. Dan beri • y = x ^ 2-1 #, biliyoruz # X, ^ 2, y + 1 #, çünkü biz # x> 0 # İlgilendiğimiz bölge için, #, X = sqrt (y + 1) #, bu nedenle bu mesafe bağlı • y #olarak belirteceğimiz #r (y) # tarafından verilir #r (y) 5-sqrt = (y + 1) #.

Şimdi bu bölgeyi döndürüyoruz #, X = 5 #Bu, her dilimin yükseklikte bir silindir haline geldiği anlamına gelir # Dy # ve yarıçapı #r (y) #, bu nedenle bir ses #pir (y) ^ 2DY #. Şimdi tek yapmamız gereken, entegrasyon kullanarak bu sonsuz küçük hacimleri toplamak. Biz notu • y # den gider #0# için #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.