Her biri diğer ikisine dokunmak için verilen yarıçapı R bir daire içinde 3 eşit yarıçapı r çevirin ve şekilde gösterildiği gibi verilen daireye bakın, o zaman gölgeli bölgenin alanı eşittir?

Şunun gibi gölgeli bölgenin alanı için bir ifade oluşturabiliriz:

#A_ "gölgeli" = piR ^ 2-3 (pir ^ 2) -A_ "merkez" #

nerede #A_ "merkez" # üç küçük daire arasındaki küçük bölümün alanıdır.

Bunun alanını bulmak için, üç küçük beyaz dairenin merkezlerini birleştirerek bir üçgen çizebiliriz. Her dairenin yarıçapı olduğundan # R #, üçgenin her bir tarafının uzunluğu # 2r # ve üçgen eşkenardır, yani açıları vardır. 60. ^ O # her.

Böylece merkezi bölgenin açısının bu üçgenin alanı olduğunu eksi çemberin üç kesimini söyleyebiliriz. Üçgenin yüksekliği basit #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #yani üçgenin alanı # 1/2 * taban * yükseklik = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Üçgenin bu üçgenin içindeki bölümü, temel olarak dairelerin birinin yarısıyla aynı alandır (açılarının olması nedeniyle 60. ^ O # her biri veya #1/6# bir daire, böylece bu sektörlerin toplam alanını çıkarabiliriz. # 1/2 pir ^ 2 #.

Son olarak, merkez bölgedeki bölgeyi çözebiliriz. #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Böylece orijinal ifademize geri dönersek, gölgeli bölgenin alanı

# Pir ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Cevap:

# A = r ^ 2 (1/6 (8 m² (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Açıklama:

Beyaz dairelere bir yarıçap verelim # R = 1 #. Merkezler eşkenar bir yan üçgen oluşturur #2#. Her medyan / rakım #sqrt {3} # yani tepe noktasından merkeze uzaklığı # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid, büyük dairenin merkezidir, bu nedenle büyük dairenin merkezi ile küçük dairenin merkezi arasındaki mesafedir. Biz küçük bir yarıçap ekleriz # R = 1 # almak

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Aradığımız alan, büyük çemberin alanıdır, eşkenar üçgen ve kalanlar #5/6# Her küçük dairenin

# A = pi R ^ 2-3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2-3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

# A = 1/6 (8 m² (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Tarafından ölçeklenir # R ^ 2 # Genel olarak.